Cómo trabajar con logaritmos

Los logaritmos son una poderosa herramienta de las matemáticas muy utilizada en muchos campos. En este apartado vamos a ver qué son y cómo se opera con ellos.

Imaginad que tenemos que resolver la siguiente ecuación: b^{x} = a, donde a,\; b son números conocidos y a > 0. Por concretar, supongamos que b = 10 y que a = 100. En este caso, la ecuación se resuelve para x = 2, ya que 10^{2} = 100.

\log_{b}a se lee “logaritmo en base b de a”. Los logaritmos son la operación inversa de la exponenciación, y significan lo siguiente: \log_{b}a = x es equivalente a b^{x} = a. Es decir, un logaritmo en una base b de un número a es la forma de encontrar un exponente x de forma que b elevado a ese exponente x sea igual a a. En el ejemplo anterior, \log_{10}100 = 2. Antes de pasar a ver más ejemplos y estudiar las operaciones, vamos a hacer un repaso sobre las potencias.

Potencias

Dado un número real x y un número natural n, se define x^{n} = x \stackrel{n\; veces}{ \cdots} x. Si n = 0,\; x^{0} = 1. Cuando x está elevado a un número entero negativo, digamos -n, se tiene que x^{-n} = \dfrac{1}{x^{n}}.

Ahora, supongamos que x está elevado a un número racional \dfrac{n}{m}, entonces se define x^{ \frac{n}{m}} = \sqrt[m]{x^{n}}. Por ejemplo, 5^{- \frac{3}{2}} = \sqrt{5^{-3}} = \sqrt{ \dfrac{1}{5^{3}}}. En general es mucho más simple trabajar con expresiones en forma de potencia que en forma de raíz.

Se puede definir, en general, x^{y}, donde x,\; y son números reales, aunque como se puede apreciar en 2^{ \pi}, no es tan intuitivo ver que esto significa lo mismo que 2 multiplicado \pi veces.

Veamos algunas operaciones entre números elevados a potencias. Todos los números que aparecen a continuación son reales.

  1. x^{y_{1}} \cdot x^{y_{2}} = x^{y_{1} + y_{2}}.
  2. \dfrac{x^{y_{1}}}{x^{y_{2}}} = x^{y_{1} - y_{2}}.
  3. \left( x^{y_{1}} \right)^{y_{2}} = x^{y_{1}y_{2}}.

Hagamos algunas observaciones:

Supongamos que y_{1} = \min \{y_{1},\; y_{2} \}. Entonces, x^{y_{1}} + x^{y_{2}} = x^{y_{1}} \left(1 + x^{y_{2} - y_{1}} \right).

La expresión x^{y_{1}^{y_{2}}} es ambigua. Dependiendo del contexto significará \left( x^{y_{1}} \right)^{y_{2}} o x^{ (y_{1}^{y_{2}})}.

Ejemplos de logaritmos

  1. \log_{b}1 = 0 para cualquier b \neq 0, pues b^{0} = 1.
  2. \log_{2}16 = 4, pues 16 = 2^{4}.
  3. \log_{3} \dfrac{1}{9} = -2, pues \dfrac{1}{9} = \dfrac{1}{3^{2}} = 3^{-2}.
  4. \log_{10} \sqrt[4]{ \dfrac{1}{1000}} = - \dfrac{3}{4}, pues \sqrt[4]{ \dfrac{1}{1000}} = \sqrt[4]{ \dfrac{1}{10^{3}}} = \sqrt[4]{10^{-3}} = 10^{- \frac{3}{4}}.

Operaciones con logaritmos

Hemos visto que los logaritmos son una forma de expresar las potencias, por lo que la forma de operar con ellos es similar. Vamos a ver qué operaciones se pueden hacer con logaritmos.

  1. \log_{b}(a_{1}a_{2}) = \log_{b}a_{1} + \log_{b}a_{2}.
  2. \log_{b} \left( \dfrac{a_{1}}{a_{2}} \right) = \log_{b}a_{1} - \log_{b}a_{2}.
  3. \log_{b}a^{x} = x \log_{b}a.

Con estas propiedades se pueden calcular los logaritmos de los ejemplos anteriores. Puedes practicar como ejercicio con los siguientes logaritmos:

  1. \log_{5}10, donde \log_{5}2 \approx 0.43.
  2. \log_{2} \dfrac{10}{128}, donde \log_{2} \approx 2.32.
  3. \log_{e} \sqrt{ \dfrac{1}{e^{ \pi}}}, donde e es la constante de Euler.

Una observación que hay que hacer es que no existe el logaritmo de un número menor o igual que 0.

Logaritmos famosos

Hay logaritmos con bases concretas que se utilizan a menudo. Por ejemplo, en física se suele utilizar \log_{10}, en informática \log_{2}, y en matemáticas \log_{e} = \ln (llamado “logaritmo natural” o “logaritmo neperiano” en honor a John Napier, pionero en el trabajo con logaritmos).