Cómo trabajar con números complejos

En este apartado aprenderemos a operar con números complejos.

Un número complejo es una expresión de la forma a + bi, donde a,\, b \in \mathbb{R} (es decir, son números reales) e i es la unidad imaginaria, i^{2} = -1 o, si lo prefieres, i = \sqrt{-1}. Estos números surgen al resolver ecuaciones que en los reales no tienen solución. Por ejemplo, x^{2} + 1 = 0, que tiene por raíces \pm \sqrt{-1} = \pm i.

Al número complejo a + bi lo denotaremos con la variable z o la variable w (al igual que a un número real lo denotamos por x o a un natural por n. El conjunto de los números complejos se representa como \mathbb{C}.

Partes de un número complejo

Sea z = a + bi \in \mathbb{C}. Se define la parte real de z como Re(z) = a, y la parte imaginaria de z como Im(z).

Potencias de i

Hemos definido i como \sqrt{-1}, luego:

i^{2} = (\sqrt{-1})^{2} = -1.

i^{3} = i^{2} i = (-1) \sqrt{-1} = - \sqrt{-1} = -i.

i^{4} = i^{3} i = -i \cdot i = - i^{2} = 1.

Obviamente, i^{5} = i^{4} \cdot i = 1 \cdot i = i, por lo que se ve que el cálculo de potencias de orden superior a 4 se reduce al caso en que la potencia es menor o igual que 4.

Suma

Dados dos números complejos z = a + bi,\; w = c + di, su suma es z + w = (a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i.

La resta es completamente análoga.

Producto

Dados dos números complejos z = a + bi,\; w = c + di, su producto es z \cdot w  = zw = (a + bi)(c + di) = ac +  adi + bci + bdi^{2} = (ac - bd) + (ad + bc)i, pues i^{2} = -1.

Módulo y representación geométrica

Antes de entrar en la división de números complejos tenemos que inspeccionar otros aspectos fundamentales de los números complejos. El primero de ellos tiene que ver con su representación geométrica. Observamos que un número complejo está completamente determinado por su parte real y su parte imaginaria. Entonces, podemos representar a z = a+bi como (a, b). Al tener dos coordenadas, podemos representarlo en el plano. Aquí tenemos algunos ejemplos de números complejos representados en el plano:

En este sentido, el plano real \mathbb{R}^{2} y \mathbb{C} son iguales, por eso a \mathbb{C} se le suele llamar plano complejo. En el plano real se define la distancia (usual) entre dos puntos (x_{1}, y_{1}),\; (x_{2}, y_{2}) como \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2})}, que no es más que el tamaño de la hipotenusa del triángulo rectángulo formado por estos dos puntos y (0, 0). Si el punto (x_{2}, y_{2}) = (0, 0) obtenemos la norma del punto (x_{1}, y_{1}), que es |\sqrt{x_{1}^{2} +  y_{1}^{2})}| \geq 0. Pues así se define el módulo del número complejo z = a + bi,\; |z| = |\sqrt{a^{2} + b^{2})}| \geq 0.

División

Sean z = a + bi,\; w = c+di, con |c| \neq 0, se define la división como \dfrac{z}{w} = \dfrac{1}{|c|^{2}}((ac + bd) + (bc - ad)i).

En lo sucesivo iré ampliando esta sección con más propiedades de los números complejos.