Cómo trabajar con números racionales

En este apartado vamos a hacer un breve repaso de los números racionales y cómo operar con ellos.

Un número racional es un número de la forma \dfrac{a}{b}, donde a,\; b son números enteros y b \neq 0. Algunos ejemplos de números racionales son \dfrac{1}{2},\; \dfrac{-4}{3},\; \dfrac{27}{-5},\; \dfrac{7}{14},\; 3. El conjunto de números racionales se denota por \mathbb{Q}. Inspeccionemos un poco estos ejemplos.

El número \dfrac{-4}{3} se puede escribir también -\dfrac{4}{3}, al igual que \dfrac{27}{-5} se puede escribir -\dfrac{27}{5}, por razones que veremos más adelante (aunque parece bastante evidente).

El número \dfrac{7}{14} es el mismo que \dfrac{1}{2}, porque 7 = 7 \cdot 1 y 14 = 7 \cdot 2, de donde podemos escribir \dfrac{7}{14} = \dfrac{7 \cdot 1}{7 \cdot 2}, y como tenemos a 7 multiplicando “arriba” y “abajo”, se cancelan, quedando \dfrac{1}{2}.

El número 3 también es un racional, porque podemos escribirlo como \dfrac{3}{1}.

En la fracción \dfrac{a}{b}, a se llama numerador, y b se llama denominador.

Lecturas de los números racionales

Un número racional \dfrac{a}{b} podemos leerlo de varias formas:

  1. Dados a objetos a repartir entre b personas de forma que a cada persona le toque la misma cantidad de objetos, \dfrac{a}{b} representa la cantidad de objetos que le tocan a cada persona. Por ejemplo, si en una cena somos 5 personas y hay 12 trozos de tortilla de patatas, a cada persona le corresponden \dfrac{12}{5} trozos de tortilla. Haciendo un sencillo cálculo que mostraremos más adelante, a cada persona le tocan 2 trozos y \dfrac{2}{5} de tortilla, que se conseguirían partiendo los 2 trozos de tortilla sobrantes en 5 trozos iguales cada uno (habría 10 trocitos pequeños), y de estos, cada persona coge 2.
  2. Dado un objeto de tamaño a que queremos partir en b trozos iguales, \dfrac{a}{b} representa el tamaño que tendrá cada trozo. Por ejemplo, los dos trozos de tortilla sobrantes anteriores, si suponemos que tienen tamaño 1 y cada uno se divide en 5 trozos, cada trozo será de tamaño \dfrac{1}{5}.

Operaciones con los números racionales

A veces interesa saber un número con decimales, para hacer cálculos económicos por ejemplo. Si la cena de tortillas nos ha costado 23€ y la vamos a pagar a medias los 5 comensales, tendremos que pagar \dfrac{23}{5} = 4.60€ cada uno. Pero muchas otras veces conviene mantener los números en su forma fraccionaria (aparte de que es mucho más elegante), incluso para no acumular errores al hacer aproximaciones de los decimales durante los cálculos. Vamos a ver cómo se opera con números racionales y qué propiedades cumplen estos números.

Lo primero que vamos a observar es que, como hemos visto en el ejemplo de \dfrac{7}{14} = \dfrac{1}{2}, en general todo número racional \dfrac{a}{b} = \dfrac{ka}{kb}, donde k es un número entero cualquiera. Así, por ejemplo, \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{6}{9} \ldots un número fraccionario se dice que está reducido si mcd(a, b) = 1, como ocurre con \dfrac{2}{3}. A nosotras nos interesa expresar una fracción de forma reducida. Así que, si no lo está, hay que encontrar el máximo común divisor del numerador y del denominador y dividir ambos por este número. Por ejemplo, \dfrac{7}{14} no está reducida, porque mcd(7, 14) = 7, así que la fracción reducida es \dfrac{\dfrac{7}{7}}{\dfrac{14}{7}} = \dfrac{1}{2}. En conclusión, un racional se puede escribir de infinitas formas, pero solo una es la forma reducida.

Suma: \dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad + bc}{bd}. Evidentemente, si queremos que este resultado se escriba en forma reducida habría que encontrar, como antes, el máximo común divisor del numerador y del denominador y dividir ambos entre este. Una forma alternativa de hacer la suma y obtener la fracción reducida sería la siguiente: sea m = mcd(b, d). Entonces, \dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{a\dfrac{b}{m} + \dfrac{d}{m}c}{m}.

Resta: Es completamente análoga a la suma y se propone como ejercicio a la lectora.

Producto: \dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd} (y reducir si es necesario).

División: \dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{d}} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c} = \dfrac{ad}{bc} (y reducir si es necesario).

Potencia: \left( \dfrac{a}{b} \right) ^{m} = \dfrac{a^{m}}{b^{m}}.

Propongo algunos ejercicios para que practiquéis. Realizar las siguientes operaciones y dar el resultado en forma reducida:

  1. \dfrac{4}{3} + \dfrac{1}{6}
  2. \dfrac{-2}{5} - \dfrac{-5}{2}
  3. \dfrac{1}{2} \cdot \left( - \dfrac{6}{11} \right)
  4. \dfrac{ \dfrac{7}{8}}{ \dfrac{-8}{9}}

Podemos hacer algunos comentarios sobre las operaciones que hemos visto:

Si sumamos un entero a un racional, k + \dfrac{a}{b}, como todos los enteros son racionales con el denominador igual a 1, se operaría de la siguiente forma: k + \dfrac{a}{b} = \dfrac{k}{1} + \dfrac{a}{b} = \dfrac{kb + a}{b}.

Si multiplicamos un entero por un racional, k\dfrac{a}{b}, como todos los enteros son racionales con el denominador igual a 1, se operaría de la siguiente forma: k\dfrac{a}{b} = \dfrac{ka}{b}. Esta es la razón por la que \dfrac{-a}{b} = - \dfrac{a}{b}, porque sería como multiplicar por -1.

Cuando se escribe \dfrac{a}{ \dfrac{b}{c}} nos encontramos con una ambigüedad, porque no sabemos si el numerador es a o \dfrac{a}{b}. Tomando la primera opción la operación sería \dfrac{a}{ \dfrac{b}{c}} = \dfrac{\dfrac{a}{1}}{ \dfrac{b}{c}} = \dfrac{ac}{b}. Mientras tanto, con la segunda opción, la operación sería \dfrac{\dfrac{a}{b}}{c} = \dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{1}} = \dfrac{a}{bc}. Obviamente los resultados son diferentes, por tanto dependiendo del contexto se elegirá una opción u otra.

El último comentario es que \left( \dfrac{a}{b} \right) ^{-1} = \dfrac{b}{a}.

Propiedades de los números racionales

Solo demostraré alguna propiedad, el resto son igual de sencillas.

Propiedad conmutativa de la suma: \dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{c}{d} + \dfrac{a}{b}. Es muy fácil de ver. Por un lado, \dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad + bc}{bd}. Por otro lado, \dfrac{c}{d} + \dfrac{a}{b} = \dfrac{cb + ad}{db} = \dfrac{ad + bc}{bd}.

Propiedad asociativa de la suma: \dfrac{a}{b} + \left( \dfrac{c}{d} + \dfrac{e}{f} \right) = \left( \dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} \right)+ \dfrac{e}{f}.

Elemento neutro de la suma: El 0 es el elemento neutro de la suma porque 0 + \dfrac{a}{b} = \dfrac{a}{b} + 0 = \dfrac{a}{b}.

Existencia de elemento opuesto respecto de la suma: - \dfrac{a}{b} es el elemento opuesto de \dfrac{a}{b}, porque \dfrac{a}{b} + \left( - \dfrac{a}{b} \right) = \dfrac{a}{b} + \dfrac{a}{b} = 0.

Propiedad conmutativa del producto: \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{c}{d} \cdot \dfrac{a}{b}.

Propiedad asociativa del producto: \dfrac{a}{b} \cdot \left( \dfrac{c}{d} \cdot \dfrac{e}{f} \right) = \left( \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} \right) \cdot \dfrac{e}{f}.

Elemento neutro del producto: El 1 es el elemento neutro del producto porque 1 \cdot \dfrac{a}{b} = \dfrac{a}{b} \cdot 1 = \dfrac{a}{b}.

Existencia del elemento inverso respecto del producto: Si a \neq 0, \dfrac{b}{a} es el elemento inverso de \dfrac{a}{b}, porque \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{b}{a} = \dfrac{b}{a} \cdot \dfrac{a}{b} = \dfrac{ab}{ab} = 1.

Propiedad distributiva del produto respecto de la suma: \dfrac{a}{b} \cdot \left( \dfrac{c}{d} + \dfrac{e}{f} \right) = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} + \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{e}{f}.

Existen tantos números racionales como enteros (y como naturales). Es cierto, por muy contraintuitivo que sea, A finales del siglo XIX, el matemático Georg Cantor lo demostró.

Espero que os haya sido útil. Si echáis en falta algo podéis poneros en contacto conmigo.