La teoría (ingenua) de conjuntos

En este apartado vamos a tratar de una manera ligera los conceptos más básicos de la teoría de conjuntos.

Un conjunto no tiene una definición matemática precisa, pues todo intento de definirlo acaba empleando términos sinónimos como “colección”. Es por eso que se propone como concepto predefinido dentro de la teoría y se trabaja con él como si lo conociéramos de toda la vida.

Un conjunto X está definido por los elementos que contiene. Si un elemento x está en X escribimos x \in X, y si no está en X escribimos x \not \in X. Como un conjunto está definido por sus elementos, si los conocemos podemos explicitar ese conjunto. Por ejemplo, si a,\; b,\; c son los elementos de X, escribimos X = \{ a, b, c \}. Si el conjunto tiene muchos elementos, o no sabemos escribirlos de manera explícita, pero sí sabemos que cumplen una propiedad P (es decir, si P es una propiedad, cualquier elemento x que satisfaga esa propiedad va a ser elemento del conjunto), podemos escribir el conjunto como X = \{ x \; : \; P(x)\}, y se lee: los elementos de X que cumplen la propiedad P. Por ejemplo, si X es el conjunto de los números pares, la propiedad que cumplen los elementos que son de X es que son pares, lo cual matemáticamente se escribe como: si n \in \mathbb{N}, entonces \exists k \in \mathbb{N} tal que n = 2k. Así, X = \{ n \in \mathbb{N} \; : \; \exists k \in \mathbb{N} \; \text{tal que} \; n = 2k \}.

Decimos que Y es subconjunto de X, y lo escribimos Y \subseteq X, si todo elemento de Y está en X. Por ejemplo, si Y = \{a,\; b \},\; X = \{a,\; b,\; c \}, entonces Y \subseteq X. Si Y \subseteq X y X \subseteq Y, entonces X = Y. Por cierto, el conjunto vacío (que se denota \emptyset) es subconjunto de cualquier otro conjunto.

Se denomina cardinal de un conjunto X al número de elementos que tiene, y se denota por \# X.

Operaciones entre conjuntos

  1. Unión: X \cup Y = \{ a \; : \; a \in X\; o \; a \in Y \}. Es decir, el conjunto unión está formado por todos los elementos de X y por todos los elementos de Y.
  2. Intersección: X \cap Y = \{ a \; : \; a \in X\; y \; a \in Y \}. Es decir, el conjunto intersección está formado por todos los elementos de X que también son elementos de Y.
  3. Diferencia: X \setminus Y = \{ x \in X \; : \; x \not \in Y \}. Es decir, el conjunto diferencia es el conjunto de los elementos de X menos los elementos de Y.

Partes de un conjunto

Un conjunto puede tener como elementos otros conjuntos. Por ejemplo, X = \{ \{a,\; b\},\; \{c\} \} es un conjunto formado por conjuntos. En este caso diríamos que \{a,\; b\} \in X, pero \{ \{a,\; b\} \} \subseteq X (tranquilo, asimilar esto puede llevar un tiempo). El conjunto más grande al cual pertenece un conjunto es el conjunto de partes de ese conjunto. Si X es un conjunto, a las partes de X se la denota por \mathcal{P}(X) y es el conjunto formado por todos los subconjuntos de X. Matemáticamente, \mathcal{P}(X) = \{ Y \; : \; Y \subseteq X \}. Por ejemplo, si X = \{a,\; b,\; c \}, entonces \mathcal{P}(X) = \{ \emptyset ,\; \{a\},\; \{b\},\; \{c\},\; \{a,\; b\},\; \{a,\; c\},\; \{b,\; c\},\; X \}.

Importancia de la teoría de conjuntos

La teoría de conjuntos es esencial para una construcción rigurosa de las matemáticas. Aunque sean objetos importantes en muchas áreas de las matemáticas, uno podría pensar que no se necesitan los conjuntos para “echar cuentas”. Es cierto, pero los matemáticos no solo “echan cuentas”, también tienen que demostrar que lo que hacen es correcto, y esa corrección se basa en la construcción rigurosa de las matemáticas, para la cual se necesitan los conjuntos. De hecho, y como mostraremos más adelante en el blog, hasta los números naturales están modelados en base a la teoría de conjuntos. Incluso la definición de función está escrita en lenguaje conjuntista. Si quieres aprender matemáticas, tienes que saber teoría de conjuntos.