Símbolos matemáticos

Este apartado está dedicado a ayudar a familiarizarse con la notación matemática, que aunque sea muy útil para expresar conceptos, a veces supone un escollo a la hora de entenderlos. La lista tendría que ser tan amplia como las mismas matemáticas, por lo que es imposible incluir todos. No obstante, si crees que falta alguno te puedes poner en contacto conmigo y lo incluiré. Aquí van algunos de los símbolos más utilizados con una breve explicación:

Notación de lógica y teoría de conjuntos.

$\{ \; \}$ . Estas llaves sirven para denotar un conjunto. Cuando tienes elementos entre dos llaves significa que tienes un conjunto formado por esos elementos. Por ejemplo, $\{ a,\; b,\;c \}$ es el conjunto formado por los elementos $a,\; b,\;c$ .

$\{ x \; : \; P \}$ (o $\{ x \; | \; P(x) \}$ ). Esto se lee «el conjunto formado por los elementos $x$ que cumplen la propiedad $P$ ». A veces se puede escribir delante de los dos puntos el rango de valores en los cuales se mueve la variable $x$ . Por ejemplo, si queremos expresar el conjunto de los números naturales que son mayores que $2$ , escribiremos $\{ n \; : \; n > 2 \; y \; n \; natural \}$ (o, cuando avancemos un poco en la lista, $\{ n \in \mathbb{N} \; : \; n > 2 \}$ ).

$\in$ . Es el símbolo de pertenencia a un conjunto, y se lee «pertenece». Se utiliza para designar cuando un elemento pertenece a un conjunto. Por ejemplo, $a \in \{a,\; b,\; c\}$ .

$\not \in$ . Es el símbolo de no pertenencia a un conjunto, y se lee «no pertenece». Se utiliza para designar cuando un elemento no pertenece a un conjunto. Por ejemplo, $d \not \in \{a,\; b,\; c\}$ .

$\subset$ . Es el símbolo de inclusión de un conjunto en otro. Si $A,\; B$ son dos conjuntos y $A$ está contenido en $B$ , lo escribimos $A \subset B$ . Por ejemplo, $\{a,\; b,\; c\} \subset \{a,\; b,\; c,\; d\}$ .

$\cup$ . Es la operación de unión de conjuntos.Si $A,\; B$ son dos conjuntos, $A \cup B$ se lee « $A$ unión $B$ ». Por ejemplo, $\{a,\; b,\; c\} \cup \{c,\; d,\; e\} = \{a,\; b,\; c,\;d,\;e\}$ . Si hay $n$ conjuntos $A_{1},\; \ldots ,\; A_{n}$ que unimos, podemos expresarlo así: $A_{1} \cup \cdots \cup A_{n} = \cup_{i=1}^{n} A_{i}$ .

$\cap$ . Es la operación de intersección de conjuntos.Si $A,\; B$ son dos conjuntos, $A \cap B$ se lee « $A$ intersección $B$ ». Por ejemplo, $\{a,\; b,\; c\} \cap \{c,\; d,\; e\} = \{c\}$ . Si hay $n$ conjuntos $A_{1},\; \ldots ,\; A_{n}$ que intersecamos, podemos expresarlo así: $A_{1} \cap \cdots \cap A_{n} = \cap_{i=1}^{n} A_{i}$ .

$\#$ . Es el símbolo de cardinal de un conjunto, es decir, el número de elementos de ese conjunto. Por ejemplo, $\# \{a,\; b,\; c \} = 3$ .

$\mathbb{N}$ . Es el símbolo que representa el conjunto de los números naturales (con los que contamos con los dedos; yo considero al $0$ número natural) $0,\; 1,\; 2,\; 3,\; \ldots$ Es decir, $\mathbb{N} = \{0,\; 1,\; 2,\; 3,\; \ldots \}$ .

$\mathbb{Z}$ . Es el símbolo que representa el conjunto de los números enteros (son los números naturales y los números negativos) $\; \ldots , \;-3,\; -2,\;-1,\; 0,\; 1,\; 2,\; 3,\; \ldots$ Es decir, $\mathbb{Z} = \{ \ldots ,\; -3,\; -2,\;-1,\; 0,\; 1,\; 2,\; 3,\; \ldots \}$ .

$\mathbb{Q}$ . Es el símbolo que representa el conjunto de los números racionales (son los números fraccionarios cuyos numerador y denominador son números enteros y el denominador no es $0$ , por eso de no poder dividir por $0$ ) $\dfrac{1}{2}, \; \dfrac{-4}{3},\; \dfrac{0}{4},\; \dfrac{5}{1}$ . Es decir, $\mathbb{Q} = \{ \frac{n}{m} \; : \; n,m \in \mathbb{Z} ,\; m \neq 0 \}$ . Observemos que los números enteros son números racionales con denominador igual a $1$ . Por ejemplo, $2 = \dfrac{2}{1}$ .

$\mathbb{I}$ . Es el símbolo que representa el conjunto de los números irracionales (números que no se pueden poner en forma de fracción), como $\pi,\; \sqrt{2}$ . Escribo aquí la expresión general de $\mathbb{I}$ aunque haga falta un símbolo que aparece más adelante: $\mathbb{I} = \{ x \; : \; \not \exists n,m \in \mathbb{Z} \; tales \; que \; x = \frac{n}{m} \}$ .

$\mathbb{R}$ . Es el símbolo que representa el conjunto de los números reales (todos los números que hemos visto hasta ahora; como los naturales están contenidos en los enteros, los enteros en los racionales y los racionales y los irracionales no tienen elementos en común, se puede decir que los reales son la unión de los racionales y los irracionales). Es decir, $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$ . Por ejemplo, $\pi,\; 1,\; -23,\; \dfrac{1}{3}$ son números reales.

$\mathbb{C}$ . Es el símbolo que representa el conjunto de los números complejos. Estos números son de la forma $a + bi$ , donde $a,b \in \mathbb{R}$ e $i^{2} = -1$ . A $i$ se le llama unidad imaginaria. De esta forma, $\mathbb{C} = \{a + bi \; : \; a,b \in \mathbb{R},\; i^{2} = -1\}$ . Observemos que si $b = 0$ , entonces nos queda el número real $a$ (por tanto, $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ ). Por ejemplo, $0,\; i,\; -2 + 3i,\; \dfrac{1}{2} + \sqrt{5}i$ son números complejos.

$A \times B$ . Es el producto cartesiano de $A$ y $B$ , y se lee «el conjunto $A$ por $B$ ». Este conjunto tiene por elementos a los pares $(a,\; b)$ , donde $a \in A,\; b \in B$ . Es decir, $A \times B = { (a,\; b) \; : \; a \in A,\; b \in B }$ . Por ejemplo, $\mathbb{R}^{2} = \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ .

$\exists$ . Se llama cuantificador existencial y se lee «existe». Se utiliza para expresar la existencia de un objeto matemático. Por ejemplo, si queremos expresar que existe un número natural menor que $2$ , escribiremos $\exists n \in \mathbb{N}$ tal que $n < 2$ . El símbolo $\not \exists$ se lee «no existe», y expresa la no existencia de un objeto matemático. Por ejemplo, si queremos expresar que no existe un número natural menor que $0$ , escribiremos $\not \exists n \in \mathbb{N}$ tal que $n < 0$ .

$\forall$ . Se llama cuantificador universal y se lee «para todo». Se utiliza para expresar a todos los elementos (que satisfacen tal propiedad). Por ejemplo, si queremos escribir que todos los números primos mayores que $2$ son impares, escribiremos $\forall p$ primo tal que $p > 2$ , se tiene que $p$ es impar. Otro ejemplo. Si queremos decir que cualquier número natural es mayor o igual que $0$ , escribiremos $\forall n \in \mathbb{N},\; n \geq 0$ .

Notación de Análisis Matemático.

$f : X \to Y$ . Esto es una función $f$ definida sobre los elementos de un conjunto $X$ cuyas imágenes pertenecen a un conjunto $Y$ . Los valores que toma $f$ están definidos por $f(x),\; x \in X$ . Por ejemplo, si queremos definir una función que a cada número real le asocie su cuadrado, escribiremos $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $f(x) = x^{2}$ .

$\dfrac{ \partial f}{ \partial x}$ . Es la derivada parcial de una función $f$ con respecto de la variable $x$ .

$\dfrac{ \partial^{n} f}{ \partial x^{n}}$ . Es la derivada parcial de orden $n$ de una función $f$ con respecto de la variable $x$ .

$f \in \mathcal{C}(X; Y)$ o simplemente $f \in \mathcal{C}(X)$ . Esto quiere decir que $f$ es una función continua definida sobre $X$ . En la primera notación se especifica el conjunto en el que está definida la imagen de la función.

$f \in \mathcal{C}^{p}(X)$ . Esto quiere decir que $f$ es una función de clase $p \geq 0$ definida sobre $X$ . Una función de clase $p$ es una función cuyas derivadas parciales de orden $p$ existen y son continuas. Si $p = 0$ , se considera que $\mathcal{C}^{0} = \mathcal{C}$ .

Notación de Álgebra y Aritmética.

$mcd(a,\; b)$ . Representa el máximo común divisor de los enteros $a,\; b$ (de entre todos los divisores de $a$ y de entre todos los de $b$ , seleccionamos los que ambos tienen en común y, de esos, el mayor es el llamado máximo común divisor). Por ejemplo, $mcd(12,\; 4) = 4$ , o $mcd(14,\; 35) = 7$ .

$mcm(a,\; b)$ . Representa el mínimo común múltiplo de los enteros $a,\; b$ (de entre todos los múltiplos de $a$ y de entre todos los de $b$ , seleccionamos los que ambos tienen en común y, de esos, el menor es el llamado mínimo común múltiplo). Por ejemplo, $mcm(12,\; 4) = 12$ , o $mcm(14,\; 35) = 70$ .

$a | b$ . Esto quiere decir que $a$ divide a $b$ (el resto de dividir $b$ por $a$ es $0$ , o equivalentemente, la división mencionada es exacta).

$a \equiv b \mod m$ . Esto se lee $a$ es congruente con $b$ módulo $m$ . Significa que el resto de dividir $a$ por $m$ y el resto de dividir $b$ por $m$ son iguales. Por ejemplo, $27 \equiv 2 \mod 5$ .

$\mathcal{M}_{n \times m}( \mathbb{K})$ . Es el conjunto de matrices de $n$ filas y $m$ columnas cuyas entradas son elementos pertenecientes al cuerpo $\mathbb{K}$ .

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