Congruencias. Las matemáticas de la semana

Bienvenidos al Escritorio de Enrique. Antes de nada, si queréis descargaros en pdf el contenido de esta entrada podéis pinchar en este enlace post7. En este artículo vamos a inspeccionar una de las herramientas más importantes de la teoría de números, las congruencias, que como veremos, son una relación de equivalencia definida sobre los números enteros.

Antes de nada, os planteo una pregunta. Si hoy es lunes, ¿qué día de la semana será dentro de 12745 días? Tomaos un rato para pensar la respuesta.

Para responder a la pregunta vamos a hacer corresponder a cada día de la semana un número, de manera razonable. Asignemos los días de la siguiente manera:

Lunes \to 0.

Martes \to 1.

Miércoles \to 2.

Jueves \to 3.

Viernes \to 4.

Sábado \to 5.

Domingo \to 6.

También podríamos haber empezado asignando al lunes el 1, llegando a que el domingo se asigna a 7, pero más adelante veremos que es más conveniente empezar por 0. Por ahora, para ver lo natural de esta asignación podemos pensar que a cada día de la semana se le asocia el número de días que han pasado desde el lunes (el lunes se corresponde con el valor 0 porque no ha pasado ningún día).

Habiendo asignado a los días de la semana un valor, al pasar una semana y volver a llegar al lunes, tendríamos que asignarle el número 7, porque son los días que han pasado desde el primer lunes. Pero el lunes es el 0, por lo tanto, en esta teoría que estamos desarrollando, 7 = 0. Igualmente, el siguiente martes, que sería el 8, se corresponde con el número asignado a cualquier martes, el 1, luego podemos afirmar que 8 = 1. De manera análoga, 9 = 2, \; 10 = 3,\; 11 = 4,\; \ldots Ahora podemos pensar en el razonamiento recíproco y plantearnos que si tenemos el número 11, a qué día de la semana se corresponde. Como se puede ver fácilmente, este día es el viernes, porque si restamos al 11 el número de días de una semana, 7, volveremos al día de nuestra “idílica primera semana”. Así, 11 - 7 = 4, y el 4 es el valor asociado al viernes. No es muy difícil extrapolar este procedimiento para calcular el día de la semana asociado a cualquier número, solo tenemos que restar 7. ¿Pero qué ocurre si al restar esta cantidad seguimos teniendo un número mayor o igual que 7? Por ejemplo, ¿qué ocurre si tenemos el número 23? 23 - 7 = 16. No pasa nada, seguimos restando 7 hasta dar con un número menor que 7. Esto funciona siempre. Así, 23 - 7 = 16,\; 16 - 7 = 9,\; 9 - 7 = 2. Por lo tanto, el 23 se corresponde con el miércoles. Además, como hemos tenido que restar 3 veces el número 7, han pasado 3 semanas. Otra forma de escribir estas cuentas es la siguiente: 23 -7 \cdot 3 = 2 o, equivalentemente, 23 = 7 \cdot 3 + 2. Si recordamos la fórmula que nos enseñaban en la secundaria dividendo\; = divisor \cdot cociente\; + \; resto, comprobaremos que el día de la semana asociado a un número cualquiera n es el resto de dividir n (dividendo) entre 7 (divisor). Y el número de semanas que han pasado es el cociente.

Recordatorio: El resto de dividir n entre m, siendo estos dos números enteros, es un valor entero r de forma que 0 \leq r < m. Esto garantiza que, como m = 7, el resto va a ser un día de la semana (valor entre 0 y 6).

Con todo esto, ya podemos responder a la pregunta inicial. Si hoy es lunes, entonces es el día 0. Para calcular el día de la semana que es dentro de 12745 días, dividimos este valor entre 7, obteniendo como cociente 1820 (número de semanas que habrán pasado) y como resto 5 (escrito como en la fórmula anterior, 12475 = 7 \cdot 1820 + 5). Por lo tanto, el día de la semana después de 12745 días será el sábado.

Lo que hemos hecho ha sido en el fondo considerar una relación de equivalencia sobre el conjunto de números enteros, \mathbb{Z}, (concepto ya visto en el artículo El conjunto cociente). La relación es la siguiente: dos números enteros a,\; b están relacionados entre sí (a \sim b) si y solo si el resto de dividir a entre 7 es igual al resto de dividir b entre 7. En notación matemática, esto es equivalente a decir que son equivalentes si y solo si existen k_{a},\; k_{b} \in \mathbb{Z} tales que a = 7k_{a} + r y b = 7k_{b} + r. Por ejemplo, 1 \sim 8 porque 1 = 7 \cdot 0 + 1 y 8 = 7 \cdot 1 + 1. También, 1 \sim (-6) porque 8 = 7 \cdot(-1) + 1 (-6 podemos verlo como el día de la semana anterior a la primera semana en la que empezamos a contar, es decir, el día de la semana de hace 6 días). Vamos a comprobar que de verdad esta es una relación de equivalencia. Para verlo, comprobemos que satisface las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.

  1. Propiedad reflexiva: Si a \in \mathbb{Z}, entonces a \sim a, porque, obviamente, el resto de dividir a entre 7 es único.
  2. Propiedad simétrica: Si a,\; b \in \mathbb{Z}, entonces a \sim b si y solo si b \sim a, porque da igual en qué orden dividamos entre 7, siempre obtenemos el mismo resto.
  3. Propiedad transitiva: Si a_{1},\; a_{2}, \; a_{3} \in \mathbb{Z}, a_{1} \sim a_{2},\; a_{2} \sim a_{3}, entonces a_{1} \sim a_{3}. Esto es claro porque si el resto de dividir a_{1} entre 7 es el mismo que al dividir a_{2} entre 7, digamos r, y el resto de dividir a_{2} entre 7 (que es r) es el mismo que al dividir a_{3} entre 7, este último tiene que ser r. Por tanto, a_{1} \sim a_{3}.

Entonces sobre \mathbb{Z}, teniendo definida una relación de equivalencia, vamos a considerar sus clases de equivalencia, lo cual es algo bastante fácil después de haber analizado el ejemplo de la semana, porque todo se reducía a los números 0,\; 1,\; 2,\; 3,\; 4,\; 5,\; 6. Estos van a ser nuestros representantes en las clases de equivalencia (recordamos del artículo antes mencionado que las clases de equivalencia se escribían así: [0],\; [1],\; [2],\; [3],\; [4],\; [5],\; [6]). Por ejemplo, todo número cuyo resto al dividirlo entre 7 sea 0 estará en la clase del 0, [0]. Finalmente, vamos a considerar el conjunto cociente de esta relación de equivalencia, que no es más que \dfrac{ \mathbb{Z}}{ \sim} = \{ [0],\; [1],\; [2],\; [3],\; [4],\; [5],\; [6] \}. Este conjunto se suele denotar por \mathbb{Z}_{7}. Normalmente, cuando no ha lugar a confusión, \mathbb{Z}_{7} se suele escribir \mathbb{Z}_{7} = \{ 0,\; 1,\; 2,\; 3,\; 4,\; 5,\; 6 \}. Sobre este conjunto la suma se comporta de la siguiente manera: a + b = [a] + [b] = [a+b]. Esto quiere decir que sumar dos números aquí es como sumarlos en \mathbb{Z} y luego encontrar su resto al dividirlo entre 7. Por ejemplo, por una parte, 2 + 14 = [2] + [14] = [2] + [0] = 2 + 0 = 2, y por otra parte 2 + 14 = [2 + 14] = [16] = [2] = 2 (la resta se comporta como la suma de números negativos que, como ya hemos visto, también tienen representación en \mathbb{Z}_{7}). La multiplicación funciona exactamente igual.

Como conclusión, la relación de equivalencia que hemos definido se suele escribir así: a \equiv b \mod 7, y se lee “a es congruente con b módulo 7”. En general, todo este proceso se puede realizar para cualquier m \in \mathbb{Z}, y decir que a \equiv b \mod m si y solo si existen k_{a},\; k_{b} \in \mathbb{Z} tales que a = m \cdot k_{a} + r y b = m \cdot k_{b} + r. Así, denotamos \mathbb{Z}_{m} = \{ [0],\; [1],\; \ldots ,\; [m-1] \}.

A la rama de las matemáticas dedicada a las congruencias se le llama aritmética modular. Se han quedado sin ver muchos resultados y propiedades interesantes de la aritmética modular sobre los que escribiré en próximas entradas. Hasta entonces, si queréis profundizar en el tema o conocer más cuestiones sobre la teoría de números os dejo el nombre de un libro que, de manera informal pero rigurosa, sirve a modo de intrducción a “la reina de las matemáticas”, como llamaba Gauss a la teoría de números: E. P. Ozhigova – ¿Qué es la teoría de números? Espero que os haya gustado. Si es así, podéis decírmelo en los comentarios. ¡Hasta la próxima!

Autor: Enrique Ferres

Soy matemático por la Universidad Complutense de Madrid especializado en Ciencias de la Computación. Como divulgador soy miembro de Scenio y he impartido conferencias en la UCM para el proyecto La Conciencia Social es la Vacuna y en la UCJC. He sido mentor durante dos años en el proyecto PiMat de integración en la universidad y un año community manager del proyecto.

4 comentarios en “Congruencias. Las matemáticas de la semana”

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