Ecuaciones diofánticas y fracciones continuas. Parte I

Bienvenidos al Escritorio de Enrique. Antes de nada, si queréis descargaros en pdf el contenido de esta entrada podéis pinchar en este enlace post9. El tema que vamos a tratar voy a dividirlo en dos artículos para que se pueda disfrutar el doble. En el artículo de hoy vamos a tratar dos de los conceptos más bonitos de la matemática clásica: las ecuaciones diofánticas y las fracciones continuas. Más en concreto, veremos qué son las ecuaciones diofánticas y las fracciones continuas junto con algunas de sus propiedades. En el siguiente artículo terminaremos de ver propiedades de las fracciones continuas y las utilizaremos para resolver ecuaciones diofánticas.

Una ecuación diofántica es una ecuación de la forma Ax + By = C, donde A,\; B,\; C son números enteros y las soluciones (x,y) son también números enteros. Por ejemplo, imaginemos que voy a comprar a una tienda de ropa y compro una cantidad x de pantalones que cuestan 80€ cada uno y una cantidad y de camisas que cuestan 50€ cada una. En total me he gastado 810€ en ropa. Nos planteamos dos preguntas: ¿Cúantos pantalones y camisetas he comprado? ¿Qué diablos me pasa para gastarme tanto dinero en ropa? (Ni siquiera tengo tanto).

La segunda pregunta será mejor que la resuelva con mi psicólogo, nos centraremos en la primera. Para modelar algebráicamente el problema, vamos a considerar que x es el número de pantalones e y es el número de camisas. Por tanto, planteamos la ecuación 80x + 50y = 810. Si recordamos lo que nos enseñaban en el cole sobre reducción de ecuaciones, sabemos que si multiplicamos (o dividimos) una ecuación por un número distinto de 0, la ecuación sigue manteniendo las mismas soluciones. Esta ecuación podemos reducirla dividiendo por el máximo común divisor de 80 y 50 (enlazo mi anterior artículo El Algoritmo de Euclides en el que hablo del máximo común divisor; haré referencia a él más adelante), que es 10, ya que también divide a 810. La ecuación queda entonces 8x + 5y = 81. Una primera restricción que encontramos es que x,\; y \in \mathbb{Z},\; x,\; y \geq 0, ya que hacemos referencia a pantalones y a camisas, no podemos comprar 1.4 pantalones. Esto nos imposibilita buscar soluciones “a lo loco”, suponiendo que una variable toma un valor, por ejemplo, x=0 y viendo cuánto vale y: y = \dfrac{81}{5} = 16.2.

Para tratar de visualizar un poco el problema podemos ver una ecuación diofántica como una función dependiente de una de las dos variables; por ejemplo, una función dependiente de x. Entonces la otra variable, y sería la función que depende de x, y = f(x), y podemos modificar la expresión para hacerla explícita: f(x) = y = \dfrac{81-8x}{5}. Podemos tratar de dibujarla (como función \mathbb{R} \to \mathbb{R}).

En este caso solo nos fijamos en la parte de la gráfica que se encuentra en el primer cuadrante, porque buscamos soluciones de la ecuación que tomen valores positivos. Pero buscamos solo valores de x y de y que sean enteros, es decir, si vemos esa función como una recta en el plano \mathbb{R}^{2}, sus puntos tienen coordenadas (x, f(x)). Nos interesan los puntos (x, f(x)) \in \mathbb{Z} ^{2} (las dos coordenadas son valores enteros). En este caso no es muy difícil encontrarlos porque no hay muchos pares de puntos posibles.

Gráficamente hemos podido ver que las dos soluciones son (2, 13),\; (7, 5) (haber comprado 2 pantalones y 13 camisas o 7 pantalones y 5 camisas). Podemos comprobar que estas soluciones son correctas sin más que sustituir en la ecuación. Vamos a hacerlo para la primera solución: 8 \cdot 2 + 5 \cdot 13 = 16 + 65 = 81. El problema de este método es que, aunque es muy útil para visualizar el problema, en ocasiones puede ser muy costoso por la cantidad de pares de valores que tenemos que cotejar (imagínate si no tuviéramos la restricción x,\; y \geq 0).

Vamos a dejar de momento esta cuestión de lado para abordarla más adelante. Fijémonos ahora en la ecuación x^{2} -3x - 1 = 0. Obviamente, con la fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado la resolveríamos inmediatamente (las soluciones son \dfrac{3 \pm \sqrt{13}}{2}, y la solución positiva es \dfrac{3+ \sqrt{13}}{2} = 3.307775\ldots), pero vamos a modificarla un poco. Evidentemente, 0 no es solución de la ecuación, así que podemos dividir la expresión por x y nos queda x - 3 - \dfrac{1}{x} = 0. Despejamos ahora x: x = 3 + \dfrac{1}{x}. Claramente, x depende de sí misma, pero si sustituimos la x del denominador del lado derecho por la expresión anterior tendríamos x = 3 + \dfrac{1}{3 + \dfrac{1}{x}}. Este proceso lo podemos hacer tan largo como queramos. ¿Qué ocurre si tomamos inicialmente x = 3 (es decir, nos quitamos la fracción que está sumando)? Podríamos ahora utilizar este valor para introducirlo en la x de la expresión 3 + \dfrac{1}{x} y nos quedaría x = 3 + \dfrac{1}{3} = 3.333333 \ldots Ahora hacemos lo mismo sustituyendo la x de la expresión 3 + \dfrac{1}{x} por 3 + \dfrac{1}{3} y nos queda x = 3 + \dfrac{1}{3 + \dfrac{1}{3}} = 3.3. Ya sabemos cómo va el proceso. Calculamos los dos siguientes valores: x = 3 + \dfrac{1}{3 + \dfrac{1}{3 + \dfrac{1}{3}}} = 3.303030 \ldots, x = 3 + \dfrac{1}{3 + \dfrac{1}{3 + \dfrac{1}{3 + \dfrac{1}{3}}}} = 3,302752\ldots Parece que los valores son cercanos a la solución exacta, de hecho, aunque no lo vamos a probar, en el límite de este proceso se obtiene la solución exacta.

La expresión fraccionaria tan rara que nos ha aparecido antes se llama fracción continua. En general, una fracción continua es una expresión de la forma a_{1} + \dfrac{b_{1}}{a_{2} + \dfrac{b_{2}}{a_{3} + \dfrac{b_{3}}{a_{4}+ \dfrac{b_{4}}{ \vdots }}}}, donde los a_{n},\; b_{n} son números reales o complejos. Sin embargo, nosotras simplemente vamos a considerar fracciones continuas de la forma a_{1} + \dfrac{1}{a_{2} + \dfrac{1}{a_{3} + \dfrac{1}{a_{4}+ \dfrac{1}{ \vdots }}}}, donde a_{1} \in \mathbb{Z} y el resto de a_{n} son números enteros positivos. A los a_{i} se les llama coeficientes, y a estas fracciones continuas se las llama simples, pero en lo que sigue, las llamaremos fracciones continuas a secas. Una fracción continua puede ser finita, esto es, puede ser a_{1} + \dfrac{1}{a_{2} + \dfrac{1}{ \dfrac{ \vdots }{a_{n-1}+ \dfrac{1}{a_{n}}}} }. Una fracción continua finita podemos expresarla de la forma [a_{1}, a_{2},\; \ldots , a_{n}]. Veamos un ejemplo de cómo expresar un número racional como fracción continua. Para expresar \dfrac{67}{29} como fracción continua vamos a proceder de la siguiente manera:

Paso 1. Como 67 > 29, dividimos 67 entre 29, y nos queda como cociente 2 y como resto 9. Por tanto, \dfrac{67}{29} = 2 + \dfrac{9}{29} (es otra forma de escribir la fórmula que ya hemos mencionado en numerosas ocasiones en este blog dividendo = divisor \cdot cociente + resto).

Paso 2. Ahora, como en vez de \dfrac{9}{29} queremos una fracción con numerador 1, hacemos la transformación \dfrac{9}{29} = \dfrac{1}{\dfrac{29}{9}}. De esta forma, hasta ahora llevamos \dfrac{67}{29} = 2 + \dfrac{1}{\dfrac{29}{9}}.

Paso 3. Volvemos a proceder como en el paso 1 para la fracción \dfrac{29}{9}. Como 29 > 9, hacemos la división del primero entre el segundo y nos queda como cociente 3 y como resto 2. Por tanto, \dfrac{29}{9} = 3 + \dfrac{2}{9}.

Paso 4. Volvemos a proceder como en el paso 2. \dfrac{2}{9} = \dfrac{1}{\dfrac{9}{2}}. Hasta ahora llevamos \dfrac{67}{29} = 2 + \dfrac{1}{3+\dfrac{1}{\dfrac{9}{2}}}.

Paso 5. De nuevo como en el paso 1 para \dfrac{9}{2}, dividimos 9 entre 2 y nos queda cociente 4 y resto 1. Por tanto, \dfrac{9}{2} = 4 + \dfrac{1}{2}.

Paso 6. Ya podríamos dejarlo aquí, porque la expresión que llevamos hasta ahora es \dfrac{67}{29} = 2 + \dfrac{1}{3+\dfrac{1}{4 + \dfrac{1}{2}}}, que concuerda con la definición de fracción continua. Recordamos que también podemos expresarla como [2, 3, 4, 2]. El que hayamos acabado en este paso se debe a que si hubiéramos procedido como en el paso 2 con la fracción \dfrac{1}{2}, la habríamos transformado en \dfrac{1}{\dfrac{2}{1}}, y el cociente y el resto de dividir 2 entre 1 son 2 y 0 respectivamente. En este caso, \dfrac{2}{1} = 2 + \dfrac{0}{1} = 2. Nos quedaría exactamente lo mismo. Sin embargo, la fracción continua no es única. En el último paso podríamos haber puesto 1 + \dfrac{1}{1} y nos habría quedado la expresión \dfrac{67}{29} = 2 + \dfrac{1}{3+\dfrac{1}{4 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{1}}}}, que en la notación de coeficientes sería [2, 3, 4, 1, 1]. Esto va a ser importante más adelante.

En general este proceso es el que hay que seguir para sacar la (o una, mejor dicho) fracción continua de un número racional. Ojo, con esta afirmación estoy diciendo implícitamente que todo número racional se puede expresar en forma de fracción continua finita. Esto, por supuesto, requiere demostración. Pero antes hay que observar que el proceso que hemos seguido es completamente equivalente al algoritmo de Euclides. Aunque ya haya dejado el enlace del artículo, voy a volver a escribir la forma general del algoritmo: siendo a \geq b dos números enteros, al dividir a entre b, se cumplen las siguientes igualdades

a = bc_{1} + r_{1} (0 \leq r_{1} < b)

b = r_{1}c_{2} + r_{2} (0 \leq r_{2} < r_{1})

r_{1} = r_{2}c_{3} + r_{3} (0 \leq r_{3} < r_{2})

r_{n-3} = r_{n-2}c_{n-1} + r_{n-1} (0 \leq r_{n-2} < r_{n-1})

r_{n-2} = r_{n-1}c_{n} (r_{n} = 0)

Con todo esto podemos afirmar que un número es racional si y solo si se puede expresar como una fracción continua finita.

Lo que está claro es que si un número se puede expresar como una fracción continua finita, entonces es un número racional. Veámoslo con un ejemplo. Si tenemos la fracción continua 1 + \dfrac{1}{ 2 + \dfrac{1}{4}}, podemos transformarla en una fracción simple. Empezamos desde abajo hacia arriba.

2 + \dfrac{1}{4} = \dfrac{8}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{9}{4}.

Ahora, 1 + \dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{4}} = 1 + \dfrac{1}{\dfrac{9}{4}} = 1 + \dfrac{4}{9} = \dfrac{9}{9} + \dfrac{4}{9} = \dfrac{13}{9}. Así concluye el ejemplo. El proceso de la demostración sería similar pero más tedioso.

Para demostrar que todo número racional se puede expresar como fracción continua basta con volver al ejemplo de \dfrac{67}{29} y a la observación de que el proceso para obtener una fracción continua es equivalente al algoritmo de Euclides. Los coeficientes a_{1},\; \ldots, a_{n} son los cocientes que se obtienen en el algoritmo hasta el penúltimo paso. Que la fracción continua sea finita es consecuencia de que los restos que se obtienen en el algoritmo de Euclides siempre son menores que el divisor y mayores o iguales que 0 (como ya se comentó en el mencionado artículo). Por tanto, el proceso acaba en una cantidad finita de pasos.

Para acabar con esta parte voy a observar que podemos conseguir que una fracción continua finita siempre tenga una cantidad par o impar (a voluntad) de coeficientes. Volvamos a ver la forma general de una fracción continua finita: a_{1} + \dfrac{1}{a_{2} + \dfrac{1}{ \dfrac{ \vdots }{a_{n-1}+ \dfrac{1}{a_{n}}}} } = [a_{1},\; \ldots, a_{n}].

Si queremos tener una cantidad par de coeficientes y hay una cantidad impar (análogamente si queremos una cantidad impar de coeficientes y tenemos una cantidad par), miramos a a_{n}.

Si a_{n} > 1: entonces, al final de la fracción continua, \dfrac{1}{a_{n}} = \dfrac{1}{(a_{n} - 1) + \dfrac{1}{1}} (no es más que restar y sumar 1, que es como no hacer nada, y ponerlo “bonito”). Así, [a_{1},\; \ldots, a_{n}] = [a_{1},\; \ldots, a_{n}-1, 1] (tenemos un término más, por lo tanto la paridad ha cambiado).

Si a_{n} = 1: entonces, al final de la fracción continua, \dfrac{1}{a_{n-1} + \dfrac{1}{a_{n}}} = \dfrac{1}{a_{n-1} + \dfrac{1}{1}} = \dfrac{1}{a_{n-1} + 1}. Así, [a_{1},\; \ldots, a_{n}] = [a_{1},\; \ldots, a_{n-1} + 1] (tenemos un término menos, por lo tanto la paridad ha cambiado).

Por ahora nos quedamos aquí. Espero que os haya gustado y me lo hagáis saber en los comentarios. En el próximo artículo continuaremos el estudio de las fracciones continuas y acabaremos utilizándolo para resolver ecuaciones diofánticas. ¡Hasta la próxima!

Autor: Enrique Ferres

Soy matemático por la Universidad Complutense de Madrid especializado en Ciencias de la Computación. Como divulgador soy miembro de Scenio y he impartido conferencias en la UCM para el proyecto La Conciencia Social es la Vacuna y en la UCJC. He sido mentor durante dos años en el proyecto PiMat de integración en la universidad y un año community manager del proyecto.

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