Modelos matemáticos en el estudio de epidemias

Bienvenidos al Escritorio de Enrique. Ayer sábado 28 de noviembre tuvo lugar el I Congreso La Conciencia Social es la Vacuna, una iniciativa puesta en marcha por unos alumnos de doctorado de la UCM, en el cual participé con mi grupo de trabajo exponiendo el principal modelo matemático que se ha utilizado hasta ahora para estudiar la COVID-19. En este congreso me llevé el premio individual de grupo de debate, así que, con esa alegría me animo a compartir en el blog el artículo que preparé para este congreso.

Antes de seguir, si queréis descargaros en pdf el contenido de esta entrada podéis pinchar en este enlace post17. En este artículo se presenta el modelo SIR como principal modelo matemático de la evolución de la COVID-19. Se explica la diferencia entre las clases susceptible-infectado-recuperado y se explicitan las ecuaciones del modelo para posteriormente hacer un análisis detallado mediante gráficos del modelo aplicado a cierta población ficticia variando los parámetros de los que dependen las ecuaciones.

Qué es un modelo

Para estudiar la realidad nos servimos de las matemáticas como instrumento preciso. Eso no significa necesariamente que las matemáticas estén en la realidad, sino que leemos la realidad a través de las matemáticas. Generalmente, cuando nos encontramos con un fenómeno a estudiar, hay muchísimas variables que lo pueden conformar. Sin embargo, el entendimiento humano tiene una capacidad limitada y no puede considerar todas las variables (para empezar porque habrá algunas que ni siquiera seamos capaces de percibir). Es por eso que necesitamos discernir las variables que pueden afectar directamente a ese fenómeno y las que no. Este es un proceso de simplificación del problema, o fenómeno, inicial a estudiar. Una vez hecho este proceso de «poda», matematizamos el problema, generando una serie de ecuaciones cuyas variables son las que hemos considerado previamente. Este paso a menudo es el más difícil de todos. El estudio de estas ecuaciones es un trabajo matemático que nos permite sacar conclusiones acerca del fenómeno que queríamos estudiar previamente. Sin embargo, esto no nos dice todo acerca del fenómeno, solo nos habla de nuestro modelo simplificado del mismo. Si queremos estudiar científicamente un suceso, el precio a pagar es la pérdida de información. Podríamos considerar más variables y ampliar nuestro modelo, pero eso puede conllevar un aumento sustancial en la dificultad de su estudio, haciéndolo impracticable.

Modelizando una epidemia

Para modelizar una epidemia tenemos que saber primero cómo afecta la enfermedad. Puede ocurrir que un enfermo se pueda curar (como la gripe) o que no se pueda curar (como el SIDA). Por otra parte, si un enfermo se puede curar, tenemos que saber si desarrolla inmunidad, si no la desarrolla o si pierde la inmunidad con el tiempo. Para cada uno de estos casos hay modelos diferentes.

Para ser más concretos, supongamos que hay una enfermedad pululando por el ambiente, y llamemos $S$ al número de personas susceptibles de contraer la enfermedad, $I$ al número de enfermos o infectados por esa enfermedad y, si procede, $R$ al número de personas que han tenido la enfermedad y ya no están enfermas (bien porque se han curado, bien porque han muerto). En la literatura anglosajona se habla de removed y en castellano se suelen llamas recuperados (aunque hayan muerto), más por seguir una coherencia con las siglas que por otra cosa. Algunos de los modelos más utilizados son los siguientes:

SI. Este modelo se adapta a enfermedades como el SIDA en las que no es posible la superación de la enfermedad (podríamos hablar de un modelo con $R$ , siendo todos ellos muertos, pero en la práctica funciona mejor el estudio simplemente con $S$ e $I).$
SIR. Este modelo se adapta a enfermedades como la gripe, que una vez superadas se desarrolla inmunidad. En el caso de la gripe, cada año hay una cepa nueva (mutada) del virus, por lo que, si hemos pasado la enfermedad, solo habremos desarrollado inmunidad a esa antigua cepa. Cada año somos susceptibles de la nueva cepa.
SIS. Este modelo se adapta a enfermedades para las que, una vez superadas, somos automáticamente susceptibles de volver a contraerlas.
SIRS. Este modelo se adapta a enfermedades para las que, una vez superadas, desarrollamos una inmunidad que perdemos con el tiempo.

Existen más modelos, pero estos son los más comunes.

¿Y qué modelo se utiliza para la COVID-19?

La COVID-19, causada por el virus SARS-CoV-2, ha sido estudiada hasta ahora con un modelo SIR. El problema es que ahora todo parece indicar que la inmunidad se pierde con el tiempo, por lo que, de ser cierto, habría que estudiarla con un modelo SIRS. Sin embargo, en este artículo consideraremos que se desarrolla inmunidad para ver cómo se ha estudiado matemáticamente la pandemia hasta ahora.

¿Cómo es un modelo SIR?

En un modelo SIR tenemos que pensar que al inicio de una epidemia (o pandemia), hay un número de infectados $I(0) > 0$ y la cantidad de población susceptible de infectarse es $S_{0} > 0$ . En un principio es razonable suponer que no hay nadie que haya superado la enfermedad, por lo que consideramos esta cantidad $R(0)=0$ . Para ir poniendo números a todo esto digamos que tenemos una población de $N = 100000$ personas y todas ellas son susceptibles de contraer la enfermedad, por lo que $S(0) = N = 100000$ . Supongamos que a esa población ha llegado una persona infectada, luego $I(0) = 1$ . ¿Cómo se propagará la enfermedad?

Para responder a esta pregunta hace falta saber a cuántas personas contagia cada infectado de media. Este es el famoso $R_{0}$ (no confundir con $R(0)$ ), o tasa de contagio. Supongamos que $R_{0} = 2$ , es decir, cada infectado contagia a 2 personas (de la población de susceptibles, claro). También hay que conocer en cuánto tiempo se supera la enfermedad de media (ya sea recuperándose o muriendo). Digamos que el coronavirus se supera en $\alpha = 10$ días. El factor que se utiliza en el modelo no es 10 días, sino $\gamma = \dfrac{1}{\alpha} = \dfrac{1}{10}$ , como ahora trataré de explicar.

Con todos estos ingredientes veamos cómo es el modelo SIR. Vamos a considerar que $SI = S \cdot I$ representa un encuentro entre un susceptible y un infectado.

Representamos por $\dfrac{dS}{dt}$ a la tasa de variación de la población susceptible por unidad de tiempo, es decir, cuánto varía la población susceptible por unidad de tiempo (consideraremos esta unidad de 1 día). Evidentemente, como cada día hay encuentros entre $S$ e $I$ , cada día habrá menos susceptibles. ¿Pero cuántos menos? $\dfrac{dS}{dt}$ debe ser algo por $SI$ , y ese algo tiene que ir con signo negativo, pues cada día la población susceptible desciende. No es fácil justificar que ese algo es $-\dfrac{R_0 \cdot \gamma}{N}.$ En nuestro caso, $-\dfrac{2 \cdot \frac{1}{10}}{100000}.$ Sin embargo, sí que es intuitivo que esta cantidad dependa del número de personas a las que contagia cada infectado, $R_{0}$ . Así, $\dfrac{dS}{dt} = -\dfrac{R_0 \cdot \gamma}{N}SI.$
Representamos por $\dfrac{dI}{dt}$ a la tasa de variación de la población infectada por unidad de tiempo (1 día). La fórmula para esta cantidad es más fácil. Si en 1 día hay $\dfrac{R_0 \cdot \alpha}{N}SI$ personas menos en la población susceptible es porque han pasado a la población infectada. Además, habrá que quitar de los infectados a aquellos que han superado la enfermedad, que son una proporción de $\gamma I = {1}{10}I$ . Es decir, de los $I$ infectados, como superan de media la enfermedad en 10 días, habrá que quitar a 1 décimo de los infectados cada día. Así, $\dfrac{dI}{dt} = \dfrac{R_0 \cdot \gamma}{N}SI - \gamma I.$
Representamos por $\dfrac{dR}{dt}$ a la tasa de variación de la población que ha superado la enfermedad por unidad de tiempo (1 día). En este caso, la población que ha superado la enfermedad solo puede aumentar, y lo hace a razón de cuánta gente sale de la clase $I$ cada día, es decir, $\gamma I = \dfrac{1}{10}I$ . Así, $\dfrac{dR}{dt} = \gamma I.$

Juntando estas tres ecuaciones tenemos hecho nuestro modelo:

$\dfrac{dS}{dt} = -\dfrac{R_0 \cdot \gamma}{N}SI$

$\dfrac{dI}{dt} = \dfrac{R_0 \cdot \gamma}{N}SI - \gamma I$

$\dfrac{dR}{dt} = \gamma I$

Y como valores iniciales, $S(0)=N=100000,\; I(0) = 1,\; R(0) = 0$ .

A esto se le llama en matemáticas un sistema de ecuaciones diferenciales, pero no vamos a profundizar en ello. En general, son bastante difíciles de resolver, pero se puede hacer un análisis cualitativo de sus soluciones, viendo cómo varían en función de sus parámetros. En un modelo SIR, un análisis cualitativo de las ecuaciones nos permite saber que si la tasa de contagio $R_{0} \leq 1$ entonces la enfermedad desaparece, mientras que si es $R_{0} > 1$ , la enfermedad se propaga. En la siguiente subsección vamos a ver una serie de gráficos que nos van a mostrar cómo es la curva de infectados a lo largo del tiempo en función de $R_{0},\, \gamma$ e $I_{0}$ .

Gráficos de infectados

En estos meses de pandemia hemos escuchado numerosas veces que hay que aplanar la curva y que hay que hacer disminuir $R_{0}$ . ¿A qué se refieren con esto? Veamos qué ocurre con el número de infectados que hay a lo largo de 1 año en una población de 100000 habitantes si la enfermedad dura de media 10 días y al comienzo solo hay un infectado ( $I(0) = 1$ ) en función de cuánto vale $R_{0}$ .

Como se aprecia en el gráfico, cuantos menos contagios se dan por persona ( $R_0$ más pequeño), más dura la pandemia pero el pico de la curva es mucho más bajo y más ancho y se alcanza más tarde en el tiempo, mientras que si $R_{0}$ es mayor, el pico se alcanza antes, pero es más elevado y más estrecho. ¿Qué quiere decir esto? Esto nos habla de que con un $R_{0}$ mayor, los servicios sanitarios colapsarán, pues en muy poco margen de tiempo habrá muchos enfermos y no se podrá atender a todo el mundo, dando lugar a una crisis sanitaria como las que vimos en marzo de este 2020.

Veamos ahora qué ocurre en 1000 días con estos mismos parámetros y con un nuevo valor de $R_0$ muy cercano a 1: 1.1.

En la gráfica se ve que cuanto más se acerca el valor de $R_0$ a este mágico número 1, más plana se vuelve la curva. De hecho, para $R_{0} = 1$ la curva de infectados no existe como tal. Veámoslo.

En este caso, el primer día hay un infectado, pero conforme pasa el tiempo hay menos de 1 infectado, que es como decir que no hay infectados. Para valores menores de 1 ocurre lo mismo.

Ahora veamos qué ocurre si dejamos fijos $R_0 = 2$ y $\gamma$ y variamos el número de infectados inicial. En vez de $I(0) = 1$ solo, consideremos también los valores 10, 100 y 500.

En este caso, la curva apenas presenta muchas diferencias en cuanto a su geometría, lo más llamativo es que el pico se alcanza notablemente antes en el tiempo con un mayor número de infectados inicial que con uno menor. Sin embargo, la poca diferencia que hay en cuanto a la altura que alcanza el pico se debe a que tanto 1, 10, 100 y 500 son pocos infectados con respecto al total de la población. Si hubiera una cantidad mayor de infectados iniciales veríamos que no solo se alcanza el pico mucho antes sino que es visiblemente más alto que los otros. Añadamos a este gráfico la curva para, digamos, $I(0) = 5000$ .

Veamos para terminar qué ocurre si variamos el número de días que tarda de media una persona en superar la enfermedad (recordemos que si tarda 10 días, $\gamma = \dfrac{1}{10}$ , y si tarda 14 días, $\gamma = \dfrac{1}{14}$ ) y dejemos fijo $R_0 = 2$ e $I(0) = 1$ .

En este caso, lo llamativo es que si la enfermedad tarda más en curarse, el pico llega más tarde, es más ancho y la pandemia dura más, ¡pero el mayor número de infectados en un día permanece constante para todos los casos!

Conclusiones

Del análisis de estos casos podemos concluir lo siguiente:

Para evitar colapsos sanitarios, se requiere disminuir $R_{0}$ . La medida más efectiva, aunque bastante desagradable, para reducirlo es el confinamiento. Cualquier otra medida que se haya tomado desde el Gobierno o vuestra Comunidad Autónoma ha ido encaminada a la disminución del $R_0$ , aunque la efectividad de las mismas se puede poner en duda en ciertas ocasiones.

$I_0$ y $\gamma$ no se pueden controlar. $I_0$ depende del momento inicial de la pandemia (o del momento a partir del cual quieras estudiarla, pero esto no lo hemos tratado en este artículo, por lo que no me voy a meter en ello). $\gamma$ , o el número de días que perdura el virus en nuestro organismo, depende especialmente de las propias características del virus, pero un medicamento eficaz contra este virus podría disminuir el período de convalecencia. En este punto hay que hablar de los antivirales. Todos conocemos los antibióticos, que son medicamentos que «matan» la bacteria que nos mantiene enfermos. Hay que recalcar que un antibiótico no es eficaz contra los virus. Pero los antivirales son los grandes desconocidos. Los antivirales son como el análogo a los antibióticos para los virus. Me sorprende mucho que todos los esfuerzos vayan encaminados al desarrollo de vacunas contra el SARS-CoV-2, pero se esté ignorando el desarrollo de un antiviral eficaz. Un antiviral reduciría el número de días que el virus se mantiene en nuestro organismo y, como acabamos de ver, reduciría el tiempo de duración de la pandemia. Es más, la vacuna sería útil contra esta cepa de coronavirus, pero habría que sacar otra nueva si surge otra cepa. Sin embargo, como apuntó el catedrático Álvaro Martínez del Pozo en el I Congreso La Conciencia Social es la Vacuna, un antiviral sería eficaz (o fácilmente modificable) contra otras cepas.

Este modelo es el que más se ha utilizado hasta ahora para predecir la evolución del coronavirus, pero como dije al principio, ¿qué ocurre si la inmunidad se pierde con el tiempo pero no surgen nuevas cepas? ¿Qué ocurre si no se pierde la inmunidad pero surgen nuevas cepas? Y lo peor de todo, ¿qué ocurre si la inmunidad se pierde y encima surgen nuevas cepas?

Espero que os haya resultado un artículo interesante y que hayáis entendido los fundamentos que sirven de base al estudio teórico de la evolución de esta pandemia. Y ya sabéis, compartidlo con familiares, amigos y vecinos del barrio. ¡Hasta la próxima!

Autor: Enrique Ferres

Soy matemático por la Universidad Complutense de Madrid especializado en Ciencias de la Computación, PDI en U-tad y estudiante PhD en Didáctica de las Matemáticas en la UCM. Miembro de Scenio. También divulgo en Twitter: @enrique_ferres Lee todas las entradas de Enrique Ferres

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