Las matemáticas. ¿Se inventan o se descubren?

A finales del siglo XIX y principios del siglo XX las matemáticas sufrieron una crisis en sus fundamentos. Anteriormente a esta etapa, los matemáticos hicieron matemáticas sin saber muy bien qué eran las matemáticas. En efecto, ni Arquímedes, ni Newton, ni Gauss (¡los más grandes y sabios!) sabían qué son las matemáticas. No puedo dejar de señalar a Frege en la lógica y Cantor en la teoría de conjuntos como los grandes responsables de poner patas arriba el desarrollo de las matemáticas. Ellos trataron de formalizar a través de una axiomática sus respectivos campos para poder asegurarse de tener unos axiomas consistentes (que de ellos no se deriven contradicciones dentro de la teoría) de los cuales derivar teoremas correctos (conclusiones verdaderas a partir de axiomas y otros teoremas verdaderos). Trataron de poner orden. El gran matemático de esta época, David Hilbert, apoyó la tarea de formalizar el total de las matemáticas utilizando como «metateoría» la lógica y la teoría de conjuntos, creyendo firmemente en la posibilidad de esta gran empresa.

Desde los antiguos griegos, la idea de formalizar estableciendo una axiomática ya estaba asentada. La obra más famosa de las matemáticas, Los Elementos de Euclides, parten de una colección de definiciones y 5 axiomas de los cuales se derivan todas las proposiciones de la obra. Como se mostraría más adelante, esta axiomática era incompleta (implícitamente Euclides asumía más axiomas de los que postulaba). El propio Hilbert reescribió Los Elementos dando una axiomática completa. Sin embargo, como algunos matemáticos vieron, si se desarrolla una axiomática completa y consistente para las matemáticas, esto significaría que realizando unas meras operaciones lógicas, ¡de esos axiomas podrían deducirse todos los resultados matemáticos! Incluso un ordenador podría hacerlo (aunque en aquella época no existían los ordenadores). Brouwer y Poincaré se oponían radicalmente a esta idea, creían en la figura del inventor de las matemáticas, de las musas que entre sueños susurraban al errante matemático la idea feliz de su gran creación. Las matemáticas son un arte. En aras de llevar razón y no caer en contradicciones con sus propias posturas filosóficas, llegaron a rechazar algunos axiomas conjuntistas (con argumentos de mucho peso, por cierto), como el Axioma de Elección, del que hablaré en otro artículo, por considerar la existencia del infinito. El final de esta historia lo escribe Kurt Gödel, que llegando a la mitad del siglo XX demuestra que la aritmética es incompleta, es decir, no todo resultado de la aritmética (y, por tanto, de las matemáticas) es demostrable a partir de los axiomas. Es más, demostró que no puede existir ningún algoritmo que pueda decidir si una fórmula es verdadera o falsa en la aritmética. Esto echó por tierra todo el programa de axiomatización de Hilbert y fue un punto a favor de los intuicionistas. Pero quedaba una pregunta en el aire: ¿Son ciertas las matemáticas? ¿Podemos estar seguros, al menos, de que lo que hacemos es correcto? De nuevo, Gödel demostró el que para mí es el resultado más enigmático de las matemáticas: si en nuestra teoría lógica demostrásemos que las matemáticas son ciertas, entonces hay contradicciones en la teoría. Es decir, no se puede demostrar si son ciertas, porque entonces no lo serían. Esto no ayudaba a ninguna de las posturas.

Este breve resumen de lo que se conoce como «la crisis de los fundamentos» sirve de introducción para la pregunta que me formulo en el título. Manuel Alfonseca es autor del libro Todo es número. ¿Es matemática la realidad? Un libro fabuloso que muestra las diferentes posturas filosóficas acerca de si las matemáticas son o no son reales. Lo recomiendo encarecidamente. Podéis encontrarlo en este enlace. En él me he basado para acercarme desde una postura consistente al tema que nos ocupa.

Eduardo Sáenz de Cabezón en su canal de YouTube Derivando (el cual recomiendo) dedicó este vídeo a la cuestión de mi artículo. Parece tratar de conciliar ambas posturas en una serie de argumentos acerca de la «invención descubierta» y el «descubrimiento inventado». Con lo primero se refiere a la capacidad de los matemáticos de inventar matemáticas que expliquen realidades físicas, y con lo segundo se refiere a generalizar el constructo matemático ya existente. Él propone que existen ciertas realidades matemáticas y el resto de matemáticas son una invención del ser humano. Esto podría ser plausible observando, por ejemplo, que la capacidad de distinguir cantidades es una capacidad transversal a numerosas especies animales, luego si la capacidad de pensar matemáticas, por muy rudimentarias que sean, es inherente a la vida, es porque sí que existen algunas entidades matemáticas. Imagino que piensa que para la fundamentación matemática, estos objetos matemáticos existentes se proponen como conceptos asumiblemente evidentes y se utilizan en el desarrollo de una axiomática inventada por el ser humano dentro de la lógica. Esto se derivaría del concepto de «descubrimiento inventado». Sin embargo, del concepto de «invención descubierta» se deriva lo mismo, pues propone que los objetos físicos que existen se describen con matemáticas que se inventan de la misma forma que he descrito antes. Por tanto, lo que él cree que es una reconciliación de posturas es un trabalenguas del mismo concepto; a saber, que las matemáticas «elevadas» se inventan y los conceptos matemáticos «básicos» existen y se descubren.

Las matemáticas, por muy indemostrables e incompletas que sean, son una colección de símbolo sin significado pertenecientes a diversas categorías a los cuales se les proporciona significado mediante un modelo axiomático y, mediante las leyes de la lógica (estoy siendo muy impreciso al hablar de lógica, pues no estoy especificando la lógica para no perder cercanía con la lectora), los teoremas correctos que de los axiomas se derivan (nótese el acto de fe que se hace aquí al presuponer la corrección de las matemáticas, pues como he comentado en la introducción, el teorema de indecibilidad de Gödel nos lleva a realizar este acto de fe). En este sentido, dado un sistema axiomático consistente, los resultados matemáticos que se derivan ya existen, los hayamos encontrado o no. Quien propone que las matemáticas son una invención, sin plantearse la existencia de las leyes de la lógica, incurre en el error de no diferenciar las matemáticas del quehacer matemático. Que el ser humano no haya encontrado tal resultado (lo haya «inventado») no implica que no exista. Más allá, en la lógica en la que trabajamos, todas las posibles combinaciones de axiomas que formen un sistema axiomático consistente para las matemáticas proporcionan resultados matemáticos que, aun no descubiertos por el ser humano, ya existen en la teoría. Por tanto, concibo que la respuesta a la pregunta de si las matemáticas se inventan o se descubren se halla detrás de si la lógica se inventa o se descubre. En este punto lamento no ser lo suficientemente contundente a la hora de dar una respuesta, pero creo que nuestra lógica existe, no como idea platónica sino como experiencia, por lo que debo considerar que las matemáticas se descubren.

Ligando de nuevo las matemáticas con el quehacer matemático, pongo en valor la creatividad y el ingenio matemático a la hora de descubrir las matemáticas, entendiendo este proceder casi como un arte capaz de llevar la mente humana hasta sus límites. Si habéis intentado hacer matemáticas, sabréis lo complicado que resulta, a partir de lo que ya se sabe, identificar lo que es necesario de entre todo lo que es innecesario.

Espero que este artículo dé mucho que debatir en los comentarios.