Latitud y longitud. Coordenadas terrestres

Bienvenidos al Escritorio de Enrique. Antes de nada, si queréis descargaros en pdf el contenido de esta entrada podéis pinchar en este enlace post13. En el artículo de hoy vamos a poner los pies en la tierra, y no metafóricamente. Vamos a aprender cómo se dan las coordenadas en la tierra y, en general, en cualquier superficie esférica. Quédate leyendo porque esto te interesa.

Aunque algunos todavía se empeñen en creer que la Tierra es plana, la Tierra tiene forma geodésica, pero es muy similar a una esfera, así que generalmente se trata como tal en matemáticas y física para realizar los cálculos pertinentes de manera más sencilla. La superficie terrestre, donde plantamos los pies, es un espacio bidimensional, como cualquier superficie, dentro de un espacio tridimensional (no vamos a entrar en cuestiones más profundas de física).

Representación esquemática de la tierra como esfera en un espacio tridimensional.

En lo que sigue, vamos a llamar esfera a la superficie esférica (no al sólido). Como objeto metido en un espacio tridimensional que es, la ecuación de una esfera de centro (0,0,0) y radio r viene dada por 3 variables (x, y, z), quizás te suene: x^{2} + y^{2} + z^{2} = r^{2}. La razón es muy sencilla. Seguro que recuerdas que la distancia más corta entre dos puntos (x, y, z),\; (x', y', z') (en el espacio euclideo) es la recta. Esta distancia se define como d((x, y, z), (x', y', z')) = \sqrt{(x-x')^{2} + (y-y')^{2} + (z-z')^{2}}, y se llama distancia euclidea (en el artículo Una aproximación a la Topología se habla más del concepto de distancia). Entonces, si elevamos al cuadrado los dos términos obtenemos (d((x, y, z), (x', y', z')))^{2} = (x-x')^{2} + (y-y')^{2} + (z-z')^{2}. Una propiedad interesante que tiene la esfera es que todos sus puntos están a la misma distancia del centro, esa distancia es el radio r. Así que, si suponemos que el centro de nuestra esfera de radio r es (0, 0, 0), una simple sustitución en la última fórmula nos lleva a que r^{2} = (d((x, y, z), (0, 0, 0)))^{2} = (x-0)^{2} + (y-0)^{2} + (z-0)^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2}, como queríamos ver. Por tanto, los puntos que están en la esfera son los puntos de este conjunto: \mathbb{S}^{2} = \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} : x^{2} + y^{2} + z^{2} = r^{2} \} (\mathbb{R}^{3} es como se denota al espacio tridimensional real y los puntos de este espacio son de la forma (x, y, z), donde cada una de las variables pertenece a \mathbb{R}).

Sin embargo, toda superficie, como el plano, es un objeto bidimensional, luego podría expresarse mediante dos variables. Veamos el ejemplo del plano. Supongamos que en el espacio tridimensional tenemos un plano como en la siguiente imagen:

Como objeto en un espacio tridimensional, para definir este plano en el espacio, requerimos de 3 variables (los puntos de este plano pertenecen al conjunto \Pi = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} : z = 0 \}, es decir, son todos los puntos (x, y, z) cuyas dos primeras coordenadas pueden tomar cualquier valor real y la tercera coordenada, z, vale siempre 0), pero podemos hacer como Edwin Abbott en Planilandia y empatizar con los habitantes de este mundo plano para los cuales no existe el eje Z. Estos habitantes del plano (puntos del plano) viven en un espacio bidimensional (infinito, por cómo hemos construido este plano) cuyos únicos ejes son X e Y, y cuando uno de los habitantes quiere indicar a otro su posición en ese mundo, le dará dos coordenadas, (x, y).

Habiendo comprendido que una superficie es un objeto bidimensional y que, por tanto, con dos coordenadas podemos expresar los puntos de esa superficie (por mucho que esté metida en un espacio de dimensión mayor), vamos a tratar de conseguir un sistema de coordenadas para la esfera que nos permita representar sus puntos. Pero antes de eso tenemos que recordar brevemente una cuestión trigonométrica.

Dado un triángulo rectángulo, y uno de sus dos ángulos no rectos, \alpha, se define el seno de ese ángulo como \sin( \alpha) = \dfrac{cateto\; opuesto}{hipotenusa}, mientras que se define el coseno de ese ángulo como \cos( \alpha) = \dfrac{cateto\; contiguo}{hipotenusa}.

Ahora vamos a mirar este triángulo dentro de nuesto eje de coordenadas.

Tomamos como origen de coordenadas (0, 0)

Ya sabemos que \sin( \alpha) = \dfrac{y}{r},\; \cos( \alpha) = \dfrac{x}{r}, donde r, por cierto, es \sqrt{x^{2} + y^{2}} por el Teorema de Pitágoras. De aquí podemos despejar x e y y obtenemos x = r \cos( \alpha),\; y = r \sin( \alpha) (a estas forma de expresar x e y se le llama coordenadas polares).

Volvamos a nuestra esfera y a nuestro intento de dar coordenadas con dos variables. Lo primero de todo, vamos a dibujar sobre nuestra esfera el ecuador (circunferencia sobre la esfera que tiene por centro (0, 0, 0), radio r y es perpendicular al eje Z):

Ahora, vamos a dibujar sobre esta esfera un meridiano (circunferencia sobre la esfera que tiene centro (0, 0, 0), radio r y pasa por el polo norte y el polo sur):

Observemos que solo existe un ecuador pero existen infinitos meridianos. Observemos también que el ecuador y este meridiano son perpendiculares. Estas dos circunferencias se parecen mucho al sistema de coordenadas cartesiano del plano, ¿verdad? El meridiano que hemos escogido, en la tierra es el famoso Meridiano de Greenwich. Obviamente, podemos girar un máximo de 360º alrededor del ecuador, al igual que alrededor del meridiano. Sin embargo, alrededor del meridiano vamos a suponer que solo podemos girar 180º, es decir, si giráramos más estaríamos en el “otro lado de la esfera”, y sería como desplazarnos primero sobre el ecuador unos cuantos grados y luego sobre el meridiano menos de 180º. Si no se ha entendido, espero que se aclare más adelante.

Ahora escojamos un punto cualquiera de la esfera, que denotaremos por (x, y, z), y dibujemos otro meridiano que pasa por ese punto. En la siguiente imagen se muestra este último paso además de dos ángulos internos que se forman, \varphi y \theta.

El ángulo \varphi se denomina longitud, y varía entre 0º y 360º, como hemos mencionado anteriormente (en el sentido contrario a las agujas del reloj, o antihorario), y representa lo que nos hemos desplazado, en grados, del meridiano inicial (es el ángulo que hay entre el meridiano inicial y el meridiano en el que se encuentra el punto (x, y, z). En coordenadas terrestres, si estás en la mitad derecha del Meridiano de Greenwich, se suele expresar el ángulo entre 0º y 180º seguido de E (este), mientras que si estás en la mitad izquierda se expresa el ángulo entre 0º y 180º seguido de W u O (west, oeste).

El ángulo \theta se denomina latitud, y varía entre 0º y 180º. Representa el ángulo que nos hemos desplazado del ecuador. En coordenadas terrestres, si estás en la mitad superior del Ecuador, se suele expresar el ángulo entre 0º y 90º seguido de N (norte), mientras que si estás en la mitad sur se expresa el ángulo entre 0º y 90º seguido de S (sur).

Así, las coordenadas de cualquier punto del globo se dan como (latitud, longitud). Por ejemplo, las coordenadas de Madrid son (40°25′08″N, 3°41′31″O).

Para terminar la justificación de que este método es válido, tendríamos que hacer un análogo de las coordenadas polares en el plano para ver cómo podemos expresar las coordenadas (x, y, z) de la esfera respecto de r,\; \varphi y \theta. Para quien quiera practicar puede tratar de comprobar, como ejercicio, que x = r \cos( \phi) \sin( \theta),\; y = r \sin( \phi) \sin( \theta),\; z = r \cos( \theta). Solo se necesita jugar con los triángulos que se forman dentro de la esfera y un poco de pericia con la trigonometría plana.

Llegamos al final de este bonito paseo por la esfera. Espero que os haya gustado. Si es así, dejádmelo en los comentarios y compartidlo con familiares, amigos y vecinos del barrio. ¡Hasta la próxima!

Autor: Enrique Ferres

Soy matemático por la Universidad Complutense de Madrid especializado en Ciencias de la Computación. Como divulgador soy miembro de Scenio y he impartido conferencias en la UCM para el proyecto La Conciencia Social es la Vacuna y en la UCJC. He sido mentor durante dos años en el proyecto PiMat de integración en la universidad y un año community manager del proyecto.

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