Números primos de Ferres

En este artículo se muestran los números primos de Ferres, un tipo de primos que he descubierto.

Bienvenidos al Escritorio de Enrique. ¿Os sorprende el título? ¿Por qué esos primos llevan mi apellido? En este artículo, que podéis descargaros en pdf pinchando en este enlace post19, voy a hablaros de estos números que he descubierto recientemente. También veremos qué es un número escrito en otra base distinta de la decimal, aprenderemos a contar cuántos candidatos a este tipo de números hay para un número de cifras concreto y sabremos para qué son importantes los números primos en la vida real (quien controle estos conceptos puede ir, directamente, a la sección dedicada a los primos de Ferres, más o menos a mitad de artículo). ¡Seguid leyendo, que este tema está recién sacado del horno!

Sistemas de numeración

Las personas solemos contar de 10 en 10. Los primeros números naturales son el 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Todos ellos tienen una sola cifra. El siguiente número al 9 es el 10, que tiene dos cifras, y seguimos contando: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 y 19. En todo sistema necesitamos unas unidades con las que representar lo que contamos. Los números del 0 al 9 tienen una sola cifra porque son lo que llamamos «unidades». A partir del 10 hasta el 99 lo llamamos decenas. En estos números, que podemos representar como XY, tenemos que la X representa cuántas decenas llevamos contadas, y la Y cuántas unidades en esa última decena. El número 12 significa 1 decena y 2 unidades, y el número 23 significa 2 decenas y 3 unidades. Después del 99 viene el 100. Este número de tres cifras quiere decir que ya hemos contado 10 decenas, y a esas 10 decenas la llamamos centena. Entonces, los números de tres cifras, que podemos representarlos como XYZ, significan X centenas, Y decenas y Z unidades. Para llegar a un millar, 1000, necesitamos contar 100 decenas, y así sucesivamente. Es una progresión que crece de forma exponencial. Cada vez que añadimos 1 cifra al número, hay que añadir un 0. Para tener una decena necesitamos 10^{0} = 1 decenas (obvio). Para tener una centena necesitamos 10^{1} = 10 decenas. Para tener un millar necesitamos 10^{2} = 100 decenas. El exponente del 10 indica cuántos ceros se añaden al 1.

El sistema decimal es bastante reciente en el tiempo, y se supone que proviene de contar con los dedos de las manos (lo siento si tienes más de diez o menos de diez dedos, te habrá costado más aprender a contar). Sin embargo, no es el único sistema de numeración que ha habido en el tiempo. Aún seguimos comprando los huevos por docenas y midiendo los minutos y segundos de 60 en 60. Otro sistema de numeración bastante más reciente es el hexadecimal, es decir, contando de 16 en 16. Los números en este sistema son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F (del 10 al 15 se representan con las letras de la A a la F). Es un sistema un poco raro, pero en informática es tremendamente útil.

Sistema binario

Hablando de sistemas de numeración e informática, el sistema por antonomasia es el binario (base 2). Todo el mundo sabe que es un sistema formado solo por 0’s y 1’s, pero suele ser bastante desconocido.

Lo primero que hay que destacar es que todo número decimal puede expresarse en sistema binario de manera única (no hay un decimal que pueda escribirse de varias maneras diferentes en binario). Y lo segundo es que todo número binario puede expresarse en sistema decimal de manera única . Juntando las dos frases esto significa que las dos formas de escribir números son equivalentes, y que lo mismo me da expresar un número n en decimal que en binario.

¿Cómo se traduce un número binario a decimal? La idea que subyace detrás de esto es que todo número decimal se puede escribir como suma de potencias de 2. En el sistema decimal tenemos que cualquier número, como por ejemplo el 329, se puede escribir como suma de potencias de 10, en este caso 329 = 3 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10^{1} + 9 \cdot 10^0 (los coeficientes que acompañan a las potencias de 10 son las unidades del sistema decimal, del 0 al 9). En el sistema binario lo que tenemos es que los números decimales se pueden escribir como suma de potencias de 2, y los coeficientes serán las unidades del sistema binario (0 y 1). Veamos un ejemplo.

En sistema decimal, la posición de las cifras importa mucho. El 329 tiene un 9 multiplicado por 10^0 (diremos que la posición es 0). Tiene un 2 multiplicado por 10^1 (la posición es 1). Y tiene un 3 multiplicado por 10^2 (la posición es 2). Así, empezamos a contar por el 0 de derecha a izquierda y sumamos todo. Para encontrar la representación decimal de un número binario vamos a hacer lo mismo. Queremos saber qué número es el 1110 (binario) en sistema decimal. Así que contamos las posiciones: hay un 0 en la posición 0 y tres 1’s en las posiciones 1, 2 y 3. Cuando hay un 0, lo multiplicamos por 2^{\text{posicion}}, y cuando hay un 1, lo mismo. Así, el 1110 es 1 \cdot 2^{3} + 1 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 = 8 + 4 + 2 + 0 = 14. Por tanto, el número 1110 es el 14 escrito en binario.

Por otra parte, la traducción de decimal a binario se basa en el mismo principio, pero ahora lo que tenemos que hacer es dividir entre 2. Se ve mejor con un ejemplo. Cojamos el 14 y olvidémonos de que ya sabemos cual es su representación binaria. Dividimos 14 entre 2 y nos queda cociente 7 y resto 0. Lo escribimos mejor con la fórmula VIP del blog, \text{dividendo = divisor} \cdot \text{cociente + resto.} Así, 14 = 7 \cdot 2 + 0. Ahora hacemos lo mismo con 7 entre 2. Sucesivamente vamos dividiendo el cociente que nos va saliendo entre 2 hasta que el cociente sea 0.

14 = 7 \cdot 2 + 0

7 = 3 \cdot 2 + 1

3 = 1 \cdot 2 + 1

1 = 0 \cdot 2 + 1

Ahora, como ya hemos llegado a tener cociente 0, cogemos los restos que nos han aparecido y los «pegamos» desde el final hasta el principio: 1110. Ahí tenemos el 14 escrito en binario.

Por cierto, todo número par, en binario tiene un 0 como última cifra, y todo impar un 1.

Para terminar de entender mejor todo esto, muchas veces se utiliza un subíndice para saber en qué sistema estamos leyendo el número, así que este es un buen momento para introducirlo. El número 14 está en el sistema decimal, así que lo escribimos como 14_{10}. El 1110 está en sistema binario, así que lo escribimos como 1110_{2}.

Esto es especialmente útil cuando hay números decimales, como el 10, que solo tienen 1’s y 0’s y se puede confundir si se están leyendo en decimal o en binario. 10 en decimal es 10_{10}, mientras que 10 en binario es 10_{2}. Además, 10_{2} = 2^1 + 0 \cdot 2^0 = 2_{10}.

Números primos

Los números primos son, por así decirlo, los átomos de los números (naturales de aquí en adelante). El Teorema Fundamental de la Aritmética dice que todo número se descompone como producto de números primos de manera única. Como todos sabréis, un número primo es un número que solo es divisible por él mismo y por 1, y que un número sea divisible por otro quiere decir que al dividirlos, el resto es 0. El primer número primo es el 2 (no, ni el 0 ni el 1 son primos), y es el único número primo par, pues el resto de números pares son divisibles entre 2. La lista sigue así: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, … En Una sencilla construcción con regla y compás tenéis una demostración de la infinitud del conjunto de números primos.

Los números primos desempeñan una labor fundamental en el sistema de encriptación de claves de seguridad. Básicamente, de manera muy general, estos sistemas consisten en tratar de averiguar, a partir de un número gigantesco, cuales son los primos que lo dividen. El número gigantesco lo puede ver todo el mundo, pero es imposible que nadie pueda encontrar sus divisores utilizando los algoritmos tradicionales. La única forma de encontrarlos es conociéndolos (contraseña). A esto se le llama sistema clave pública/privada y es tremendamente interesante.

Precisamente por esa necesidad de encriptar la información es tan importante encontrar números primos cada vez más grandes. Sin embargo, es una tarea complicadísima, pues existen limitaciones tecnológicas y los algoritmos que hay para saber si un número es o no primo son muy ineficientes. A pesar de eso, el número más grande que se ha encontrado hasta la fecha es el 282589933 − 1, con 24862048 cifras. Una pasada. A los primos de la forma 2^n -1 se les llama primos de Mersenne, en honor al Padre Mersenne (s. XVII), del cual espero hablar más adelante en el blog. No todo número primo es de esta forma, pero sí que, si es primo, entonces n es primo. Hay un proyecto colaborativo llamado GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) cuyo objetivo es encontrar nuevos primos de Mersenne.

Hay un tipo de algoritmos para ver si un número es primo o no que son probabilísticos. ¡Sí, la probabilidad también se puede aplicar al hecho de ser o no primo! Uno de ellos es el Test de Miller-Rabin. Este algoritmo toma un número y te puede decir que no es primo (cuando te dice que no es primo no se equivoca nunca) o te puede decir que sí es primo. En este último caso, lo bueno que tiene el algoritmo es que puedes calcular la probabilidad de que efectivamente sea un número primo (magia de la probabilidad) como \dfrac{1}{4^{\text num. iteraciones}} (además, al hacer el algoritmo un mínimo de una iteración, te garantizas de que la probabilidad de que sea primo sea siempre mayor o igual que 0.75, o 75%). Otro punto a favor de los algoritmos probabilísticos es que son mucho más rápidos que los deterministas (los fiables). Pero claro, el gran punto en contra es que si te dicen que un número es primo pueden fallar. Para la práctica, se utilizan para lo que he comentado anteriormente de los sistemas clave pública/privada, pero los matemáticos solo podemos afirmar algo cuando estamos seguros del todo, así que en ese sentido los algoritmos probabilísticos sirven para indicar qué números «grandes» sí son candidatos serios a ser números primos.

Otra utilidad de los números primos es tecnológica. Como acabamos de comentar, los algoritmos de búsqueda de números primos son muy ineficientes, tardan mucho en decidir si un número es primo o no, entonces, cuando se desarrollan nuevos ordenadores, procesadores, etc., una de las formas de ver cuánta capacidad de cómputo tienen es utilizando estos algoritmos y viendo cuánto tiempo tardan con respecto a lo que ya había anteriormente. Qué buena gente son estos primos, ¿verdad?

Números primos de Ferres

Por fin llegamos. Hace unos meses publiqué en Twitter (donde, por cierto, todas las semanas escribo mínimo un hilo divulgativo, así que seguidme si no queréis perderos nada) una propiedad muy curiosa que descubrí en el número 101, pero no sabía si habría más números con esa propiedad. Dejé pasar el tiempo esperando encontrar un hueco en el que buscar algo relacionado con este número y con los que cumplieran la propiedad. La semana pasada por fin pude ponerme y, cual fue mi sorpresa, no encontré ABSOLUTAMENTE NADA. Así que he decidido, mientras nadie me diga que estos números tienen otro nombre y que los descubrió otra persona, llamarlos números primos de Ferres. Vamos a ver su definición.

Se dice que un número es primo de Ferres (lo vamos a denotar por PF) si es un número primo formado por 0’s y/o 1’s de forma que, al escribirlo en binario, el número resultante es primo como número decimal. De manera más matemática, un número n_{10} es un PF si es un primo formado por 0’s y/o 1’s de forma que, si m_{2} = n_{10}, entonces m_{10} es primo.

Parece un trabalenguas, pero ya veréis que no es tan complicado, la clave es que, cuando pasamos el número a binario tenemos que leer ese número binario como si fuese decimal. Veamos algunos ejemplos.

El número 11 (n_{10} = 11_{10}) es un número primo formado solo por 1’s. Si lo pasamos a binario es el 1011 (m_{2} = 1011_2 = 11_{10} = n_{10}). Este nuevo número leído como número decimal (m_{10} = 1011_{10}) no es un número primo, porque es divisible entre 3.

El número 101 (n_{10} = 101_{10}) es un número primo formado por 1’s y 0’s. Si lo pasamos a binario es el 1100101 (m_{2} = 1100101_{2} = 101_{10} = n_{10}), que leído como número decimal (m_{10} = 1100101_{10}) es un número primo. Además, resulta que el 101 es el primer PF.

Con un algoritmo determinista probé a buscar PF’s, pero solo llegué hasta números de 7 cifras, porque a partir de 8, este algoritmo y mi ordenador ya no daban para más. Además, me encontré con que el único PF de 7 cifras o menos es el 101. «¿Será el único?» pensé. Entonces probé a utilizar el algoritmo probabilístico de Miller-Rabin y, llegados hasta las 17 cifras, ¡me aparecieron 114 candidatos! Aquí os dejo una lista con todos ellos.

101, 11110111, 1001000111, 10110100001, 10111000001, 10001001001, 11001101011, 11100011101, 101010000001, 100010001001, 100010111101, 110111010101, 110100110101, 1001100101011, 1011101100101, 1110011010001, 1111100010011, 1100011001101, 1110011001101, 1110001101101, 10101101000101, 10100000011001, 10011110100011, 10101001011011, 10010111111111, 11101100010101, 11010010100101, 11001010110011, 11000011101011, 11011110111011, 101000010001001, 101101010010001, 100011110010001, 100111001011001, 100010001010111, 100010000011111, 101011101011111, 101100011111111, 111010011000011, 110111101010011, 110010101111011, 110001111111011, 110110000110101, 110011011111101, 110000101001111, 110010111110111, 1000001011110001, 1001011110000101, 1010100001010101, 1010010101100101, 1000100110100101, 1001010111110101, 1000001101001101, 1000010110001101, 1000010100110111, 1000001100101111, 1110010011010001, 1111101101101001, 1100110101011101, 1101010111011101, 1110000000100111, 1111111110001111, 1100101001111111, 1101100010111111, 10101110110000001, 10111001100100001, 10010000111100001, 10100001111001001, 10001001100110001, 10111011100110001, 10111110110110001, 10010101000111001, 10001001000111001, 10101001010000011, 10001000100101011, 10000001101110011, 10100000101011011, 10101100010000101, 10001011100000101, 10111001110100101, 10101110101010101, 10001000110011101, 10111111000000111, 10100011010000111, 10001110100000111, 10011011100100111, 10111101101000111, 10011010000001111, 10111001001010111, 10011101011010111, 10010001111010111, 10000110110111111, 10010101001111111, 11000011000101001, 11001110111001001, 11101001111101001, 11010101110011001, 11011001010111001, 11101111001011001, 11101110101011001, 11101010011111001, 11100111001101011, 11110010000010011, 11101000000101101, 11111000011001101, 11110100101001101, 11101001101010101, 11111001010011101, 11110111011011101, 11000001100000111, 11100111101000111, 11111110011100111, 11111110001101111, 11010000111101111.

El mayor problema que tienen los algoritmos deterministas no es comprobar si los números de esa lista son primos, sino si sus binarios lo son, porque al pasar un número a binario sus cifras aumentan considerablemente. El número 101 tiene 3 cifras y su binario, el 1100101, tiene 7. Pero es que el siguiente número a probar es el 11110111, de 8 cifras, y su binario es el 101010011000011011011111, ¡que tiene 24 cifras!

Pensé que ya sería mala suerte que de todos esos números que me ha devuelto el algoritmo probabilístico solo el 101 sea PF. Entonces, para salir de dudas de que solo hay un PF comprobé con el algoritmo determinista si 11110111 es PF y, tras 11 horas de ejecución, el algoritmo indicó que, efectivamente, es un PF. ¡El segundo! ¡Hay más de uno! Hasta el momento en el que estoy escribiendo esto, son los dos únicos PF’s que he encontrado, a la espera de que se comprueben los otros 112 candidatos. Sin embargo, mis limitaciones tecnológicas me impiden seguir verificando PF’s.

Buscando primos de Ferres

Para buscar candidatos a PF no es necesario buscar entre todos los números, sino solamente entre aquellos que están formados por 1’s y/o 0’s. Así que, si buscamos PF’s de dos cifras, los únicos candidatos son 10 y 11. Si buscamos PF’s de tres cifras, los únicos candidatos son 100, 101, 110 y 111. La pregunta es: ¿Cuántos candidatos de k cifras hay?

Si k = 2, entonces solo hay 2 candidatos (dejo por aquí 2^1).

Si k = 3, entonces hay 4 candidatos (dejo por aquí 2^2). Una forma de ver los candidatos de 3 cifras es separar los números de la siguiente manera: todos empiezan por 10 u 11 y van seguidos de 1 o 0. Es decir, tenemos números de la forma 10* (en ese espacio va un 1 o un 0, dos posibilidades), y números de la forma 11* (en ese espacio va un 1 o un 0, dos posibilidades). Así que, contando las posibilidades nos salen 4.

Si k = 4, entonces hay 8 candidatos (dejo por aquí 2^3): 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111. Ahora tenemos números de la forma 10** (en los huecos van 00, 01, 10, 11; cuatro posibilidades) y de la forma 11** (en los huecos van 00, 01, 10, 11; cuatro posibilidades). Contando las posibilidades nos salen 8.

La clave para contar las posibilidades es la siguiente: supongamos que queremos contar los candidatos de k cifras, con k > 2. Primero vemos si el número es par o impar. Si es par, lo fragmentamos en parejas de cifras (por ejemplo, para 6 cifras habría 3 parejas), y contamos las posibilidades que hay, teniendo en cuenta que la primera pareja solo puede ser 10 u 11 y el resto pueden ser 00, 01, 10, 11. Si k es impar, fragmentamos por parejas empezando desde la izquierda y la última cifra de la derecha la dejamos desparejada (por ejemplo, para números de 5 cifras habría 2 parejas y una cifra suelta). Hay que tener en cuenta que la primera pareja solo puede ser 10 u 11, la última cifra solo puede ser 0 o 1 y el resto pueden ser 00, 01, 10, 11.

Lo que vamos a obtener es que hay 2^{k-1} candidatos de k cifras para k \geq 2. Una demostración rigurosa requeriría de utilizar el principio de inducción. Podéis intentarlo para practicar. En Algunos tipos de demostraciones encontraréis en qué consiste este principio.

Superprimos de Ferres

Ya para terminar quiero hablar de otro tipo de números que he descubierto y que he decidido llamar superprimos de Ferres. Veamos en qué consisten.

Se dice que un número es superprimo de Ferres (SPF) si es un primo de Ferres que, leído como número binario, es la expresión binaria de un número primo.

Matemáticamente lo expresaríamos de la siguiente manera. Se dice que n_{10} es SPF si es PF y si existe un número primo, p, tal que p_{10} = n_{2}.

No os asustéis que ahora vienen ejemplos. Lo primero es hacer notar que para que un número sea SPF, tiene que ser PF, entonces los candidatos van a estar entre los PF. El primero con el que tenemos que probar es 101. Para ello habría que ver si 101 es la expresión binaria de un número primo. Entonces pasamos 101_{2} a decimal: 101_{2} = 2^2 + 2^0 = 4 + 1 = 5_{10}. Y como 5 es un número primo, concluimos que 101 es SPF. ¡Qué casualidad! El 101 es un número interesantísimo.

Ahora vamos a ver si el otro PF que hemos encontrado es SPF. 11110111_{2} = 2^7 + 2^6 + 2^5 + 2^4 + 2^2 + 2^1 + 2^0 = 128 + 64 + 32 + 16 + 4 + 2 + 1 = 247_{10}. 247 no es un número primo porque es el producto de 13 por 19, así que 11110111 no es SPF.

He comprobado que, si los candidatos a PF de la lista de 114 que he escrito antes fueran, efectivamente, PF, habría 34 SPF. Aquí dejo una lista con todos ellos. Los escribo por parejas en las que aparece el número que es SPF y de qué número primo es expresión binaria.

(101, 5), (10001001001, 1097), (101010000001, 2689), (100010111101, 2237), (110111010101, 3541), (11010010100101, 13477), (11001010110011, 12979), (101011101011111, 22367), (101100011111111, 22783), (110111101010011, 28499), (110110000110101, 27701), (1000001011110001, 33521), (1010100001010101, 43093), (1000001101001101, 33613), (1110000000100111, 57383), (1111111110001111, 65423), (1100101001111111, 51839), (1101100010111111, 55487), (10111001100100001, 95009), (10010000111100001, 74209), (10100001111001001, 82889), (10001001000111001, 70201), (10001000100101011, 69931), (10100000101011011, 82267), (10001011100000101, 71429), (10100011010000111, 83591), (10011101011010111, 80599), (11000011000101001, 99881), (11001110111001001, 105929), (11101110101011001, 122201), (11110010000010011, 123923), (11110100101001101, 125261), (11000001100000111, 99079), (11111110011100111, 130279).

Conclusiones

Los números primos han sido, desde la prehistoria matemática (antes de los griegos), objeto de fascinación y estudio. Hasta ahora no se ha descubierto ningún patrón con el que se distribuyan, pero si se demostrase la Hipótesis de Riemann, que merece su propio artículo, la cosa cambiaría. De momento, nos conformamos, por la parte práctica, con encontrar números primos grandes. En este sentido, los primos de Ferres podrían tener cierta relevancia. En efecto, la definción de primo de Ferres involucra que el binario del número en cuestión sea, a su vez, un primo (leído como decimal). Pero este binario tiene muchas más cifras que el primo del que proviene. Así que, si alguien demostrase que existen infinitos primos de Ferres (de momento solo sabemos que existen 2 con seguridad) y encontrase una propiedad para comprobar que un número es primo de Ferres que no involucre comprobar que su binario es primo, tendría automáticamente que su binario, de muchas más cifras, es primo. Dos por el precio de uno.

Este ha sido mi primer aporte al mundo de las matemáticas, espero que os haya gustado. Si alguien quiere estudiar este tipo de números, me gustaría que me hiciera partícipe o conocedor de sus avances. Podéis poneros en contacto conmigo por aquí o enviándome un MD por Twitter. Y ya sabéis, comentad vuestras opiniones y compartid con familiares, amigos y vecinos del barrio. ¡Hasta la próxima!

Autor: Enrique Ferres

Soy matemático por la Universidad Complutense de Madrid especializado en Ciencias de la Computación, PDI en U-tad y estudiante PhD en Didáctica de las Matemáticas en la UCM. Miembro de Scenio. También divulgo en Twitter: @enrique_ferres

8 opiniones en “Números primos de Ferres”

  1. Hola amigo, jejejeje soy otro loco como tu. Llevo más de 20 años rondando con mis primos. **** números primos **** son mi FAMILIA. Veo que sabes más que yo de MATE.

    DECIMAL PRIMO BINARIO PRIMO
    1 1
    3 11
    23 10111
    47 101111
    89 1011001
    101 1100101
    149 10010101
    157 10011101
    163 10100011
    173 10101101
    179 10110011
    199 11000111
    229 11100101
    313 100111001 100111001 hasta aquí ninguno es primo de b2 a b10
    331 101001011
    367 101101111
    379 101111011
    383 101111111
    443 110111011 110111011
    457 111001001
    523 1000001011
    587 1001001011
    631 1001110111
    643 1010000011
    647 1010000111 323,5
    653 1010001101
    659 1010010011
    709 1011000101
    883 1101110011
    947 1110110011
    997 1111100101
    B10 B2
    643 = 1010000011
    647 = 1010000111
    BASE 10
    B10 B10 B10
    643·647 = 416021 en base 10, 1100101100100010101-416021= 1100101100099594080,
    B10 B2
    643·1010000011=649430007073 en B10
    B10 B2
    647·1010000111=653470071817
    B10 B2
    643·1010000111=649430071373
    B10 B2
    647·1010000011=653470007117
    B2 B2 B10
    1010000011·1010000111=1020100123220001221
    BASE 2
    B2 B2 B2
    1010000011·1010000111=1100101100100010101 es compuesto

    DIFERENCIAS
    1020100123220001221 EN B2 = 348047 EN B 10 ES COMPUESTO= 2
    647- 643= 4 , 1010000111-1010000011=100
    7 ·7103
    416021 – 348047=67974
    1100101100100010101 – 1020100123220001221=
    80000976880008880 = 100011100001110000111011011110000100111011111111010110000 EN B2
    B10-B10 B2-B2 B10B10-B2B2ENB10 B2B2enB2- B2B2enB10
    4 100 416021- 348047 1100101100100010101- 1020100123220001221
    67974 80000976880008880
    A x B = C
    643·1010000011=649430007073
    D x E = F
    647·1010000111=653470071817 ,
    D x B = G
    647·1010000011=653470007117
    A x E = H
    643·1010000111=649430071373
    F C I
    653470071817 – 649430007073= 4040064744
    G H J
    653470007117 – 649430071373 = 4039935744
    I J K
    4040064744 – 4039935744= “129000 “ = 3 3
    2 ·3·5 ·43
    80000976880008880/4 = 20000244220002220
    80000976880008880/100=800009768800088,8
    80000976880008880/67974= 12
    1.1769349586607950098567099184982493306264159825815753082060787948333186218259922911701532939064936593403360108·10

    1 11
    2 101
    3 10111
    4 101111
    5 1011001
    6 1100101
    7 10010101
    8 10011101
    9 10100011
    10 10101101
    11 10110011
    12 10111001 185 en decimal
    13 11000111
    14 11100101
    15 11110111 247 13 * 19
    16 11111101 253 11 * 23
    17 100100111
    18 100111001
    19 101001001
    20 101001011
    21 101100011
    22 101101111
    23 101111011
    24 101111111
    25 110010101
    26 110101001
    27 110111011
    28 111000101
    29 111001001
    30 111010111
    31 1000001011
    32 1000010101
    33 1000011011
    34 1000110101
    35 1001000111
    36 1001001011
    37 1001010011
    38 1001110111
    39 1010000011
    40 1010000111
    41 1010001101
    42 1010010011
    43 1010011111
    44 1010100011
    45 1010110001
    46 1010111111
    47 1011000101
    48 1011110011
    49 1100001101
    50 1100010001
    51 1100101111
    52 1101001001
    53 1101010111
    54 1101110011
    55 1110011101
    56 1110110011
    57 1111011101
    58 1111100101
    59 1111110001
    60 10000001101
    61 10000110011
    62 10001000011
    63 10001001001
    64 10001001011
    65 10001011001
    66 10001100001
    67 10010000111
    68 10010001011
    69 10010100101
    70 10010110111
    71 10011000011
    72 10011101011
    73 10011110101
    74 10011111101
    75 10100000011
    76 10100000111
    77 10100001001
    78 10100011001
    79 10100101001
    80 10100110001
    81 10100111101
    82 10101111011
    83 10110000101
    84 10110100001
    85 10111000001
    86 10111001011
    87 10111110001
    88 11000000101
    89 11000010011
    90 11000010101
    91 11001000001
    92 11001011101
    93 11001101011
    94 11001111101
    95 11010000101
    96 11010011101
    97 11010100111
    98 11010101101
    99 11011010111
    100 11011011001
    101 11011101011
    102 11100000001
    103 11100000101
    104 11100010111
    105 11100011011
    106 11100011101
    107 11100111101
    108 11101010101
    109 11101011001
    110 11110000001
    111 11110010101
    112 11110100011
    113 11110100101
    114 100000001111
    115 100000010101
    116 100000011011
    117 100000110011
    118 100001001011
    119 100001001101
    120 100010001001
    121 100010001101
    122 100010100011
    123 100010111101
    124 100011101101
    125 100100100011
    126 100100101111
    127 100100111011
    128 100101000011
    129 100101110111
    130 100101111001
    131 100110101011
    132 100110101111
    133 100110110101
    134 100111010011
    135 100111010101
    136 100111011101
    137 100111101001
    138 101000000011
    139 101000100101
    140 101000101001
    141 101001011011
    142 101001101101
    143 101001111011
    144 101010000001
    145 101010000011
    146 101010100111
    147 101010101011
    148 101010110011
    149 101010111001
    150 101011101001
    151 101011101101
    152 101011110001
    153 101011111001
    154 101100001111
    155 101100011011
    156 101100111011
    157 101101000001
    158 101101010011
    159 101101010111
    160 101101100011
    161 101101101011
    162 101110000111
    163 101110011011
    164 101111001001
    165 101111010101
    166 101111100001
    167 101111101001
    168 101111111111
    169 110000000101
    170 110000100101
    171 110001111001
    172 110010010001
    173 110010011101
    174 110010101111
    175 110010110101
    176 110011000111
    177 110011010101
    178 110011100011
    179 110011101001
    180 110011110101
    181 110100000011
    182 110100110101
    183 110101000111
    184 110101011001
    185 110101011011
    186 110110000001
    187 110110001101
    188 110111000011
    189 110111010011
    190 110111010101
    191 110111111101
    192 111000000101
    193 111000011011
    194 111000101011
    195 111000101111
    196 111000110101
    197 111001000001
    198 111001010101
    199 111001101011
    200 111001110001
    201 111010010011
    202 111010101001
    203 111010101101
    204 111011001001
    205 111011010101
    206 111011101001
    207 111011111111
    208 111100001011
    209 111100010011
    210 111100100101
    211 111101011001
    212 111110000011
    213 111110010101
    214 111111000101
    215 111111011111
    216 111111110111
    217 111111111101
    218 1000000111001
    219 1000001000111
    220 1000010011001
    221 1000010100101
    222 1000011110011
    223 1000011110101
    224 1000011111101
    225 1000100000101
    226 1000100001011
    227 1000100010101
    228 1000100100001
    229 1000100101111
    230 1000100111111
    231 1000101000001
    232 1000101100001
    233 1000101100111
    234 1000110001001
    235 1000110101101
    236 1000111000001
    237 1000111101001
    238 1001000010001
    239 1001000101001
    240 1001000110001
    241 1001001010111
    242 1001001111001
    243 1001010001001
    244 1001010001111
    245 1001010010001
    246 1001010100001
    247 1001011101011
    248 1001100000001
    249 1001100011011
    250 1001100100001
    251 1001100101011
    252 1001101001101
    253 1001101010111
    254 1001101100011
    255 1001101101101
    256 1001110010011
    257 1001110010101
    258 1001110100101
    259 1001110110101
    260 1001111000111
    261 1001111001001
    262 1001111010101
    263 1001111011111
    264 1001111100001
    265 1001111111111
    266 1010000000011
    267 1010000001001
    268 1010000010001
    269 1010000010011
    270 1010000100101
    271 1010000111101
    272 1010001001111
    273 1010001010001
    274 1010001100001
    275 1010001111001
    276 1010010011111
    277 1010010111101
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    953 101101001111111
    954 101101010010001
    955 101101011011101
    956 101101100001001
    957 101101100010011
    958 101101100011111
    959 101101101111011
    960 101101110010111
    961 101101110101111
    962 101101111001101
    963 101101111010101
    964 101101111011001
    965 101101111011101
    966 101101111111111
    967 101110000011101
    968 101110000100111
    969 101110000101001
    970 101110000110011
    971 101110001001101
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    973 101110001101001
    974 101110010000011
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    976 101110011011111
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    983 101110100111101
    984 101110101001001
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    986 101110110011111
    987 101110110101101
    988 101110110101111
    989 101110111010011
    990 101110111110101
    991 101111000000011
    992 101111000001001
    993 101111000001101
    994 101111000110111
    995 101111001000101
    996 101111001100111
    997 101111001101101
    998 101111001110111
    999 101111001111011
    1000 101111001111101

    Código:

    #include
    #include
    #include

    int main()
    {
    int base_origen,base_destino;
    std::string numero;
    cout <> numero;
    cout <> base_origen;
    cout <> base_destino;
    bool numero_valido=true;
    int i=0;
    while (numero_valido && i=’0’+base_origen) {
    numero_valido=false;
    }
    ++i;
    }
    if (numero_valido) {
    int i_numero=0;
    for (i=0;i<numero.length();i++) {
    i_numero+=(numero[i]-'0')*pow(base_origen,numero.length()-1-i);
    }
    cout<<"i_numero:"<<i_numero<= base_destino) {
    resto=cociente%base_destino;
    cociente=cociente/base_destino;
    salida+=(char)(‘0’+resto);
    }
    salida+=(char)(‘0’+cociente);
    for (i=salida.length()-1;i>=0;i–) {
    cout<<salida[i];
    }
    cout<<endl;

    } else {
    cout <<"El número "<<numero<<" no está en base "<<base_origen< Ajustes de Modo > Entrada para ver o cambiar la base de numeración para los números que se introducen. Use el campo Base de numeración de Opciones > Ajustes de Modo > Salida para ver o cambiar la base de numeración para los números que se muestren.

    Es posible que necesite convertir números entre dos bases distintas o trabajar con números de base diferente a diez. Los sistemas de numeración más frecuentes son: binario (base 2), octal (base 8), decimal (base 10), y hexadecimal (base 16), que se controlan usando, respectivamente, Binary, Octal, Decimal o Hexadecimal en dichas órdenes. También puede escribir cualquier entero entre 2 y 36, ambos inclusive.

    Si se cambia la base, se generan expresiones de la forma

    InputBase := base

    donde base es Binary, Octal, Decimal, Hexadecimal o un entero entre 2 y 36, inclusive. Por tanto, estos cambios pueden introducirse en la línea de edición de la manera indicada.

    Para bases mayores que diez, la letra A se usa para representar el décimo dígito, la B para el siguiente y así sucesivamente hasta la Z para el dígito 35. Para evitar confusiones con variables, tales números se preceden de un cero (0). Por ejemplo, en base 16, el número decimal 14 se muestra como 0E.

    © Versión en español: José Luis Llorens Fuster

    AD 173
    BF 191
    DF 223
    Bueno te mando esto. Me gusta experimentar .Hace años recorde que estuve pasando unos números primos de base 10 a base 2 que resultaban ser primos algunos. y luego los pasaba a base 10. Los que resultaban ser primos en ambas bases los utilice para hacer figuras recuerdo, luego en esas figuras tapaba con color los ceros y unos y las mandaba por ahí a ver si alguno desenmascaraba esas imagines. AL GRANO, HE METIDO UN NÚMERO DE UNOS Y CEROS Y UNOS PRIMO Y MIRA POR DONDE HAS SSALIDO TU. Que bueno, yo no soy ni profesor de matemáticas, ni catedrático, ni académico. Soy un aficionado que sigue los pasos de los antiguos y profundiza en ellos. Pensando que en 1600, 1800 y por ahí no había calculadora, ni ordenadores; y que si estos grandes genios como Fermat los hubieran tenido ¿ Que habrían hecho y a hasta donde habrían llegado ? 28 02 2023

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    1. Hola me bajé tu PDF. espero mañana estudiar tus números primos con mayor profundidad. Hoy he visto que eres profesor, yo tuve un amigo y compañero que fue presidente de RSME. 135403 es primo y se puede escribir como 13^2+17^3+19^4 y como ? .ESTO ES LO QUE MAS ME SEDUCE. Me podrías ayudar ?

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  2. Una búsqueda immediata en google por ejemplo revela este post de hace 7 años (https://math.stackexchange.com/questions/404840/binary-decimal-primes) donde hablan de tus «superprimos de Ferrer». Y he de decirte que queda bastante feo darle tu nombre a cosas como esta 😉 Una buena regla general es asumir que alguien ha pensado en lo mismo que tú antes que tú, porque el 99% de las veces es cierto.

    Pero de todas formas, para que no me quites la exclusiva en el futuro, permíteme llamar «primos de David» a cualquier número primo compuesto de las cifras 0,1,2 tal que en ternario leído como decimal también es un número primo. Por ejemplo, 2 es un primo de David. No me he molestado en comprobar si hay más, pero tardaría solo unos segundos, porque Mathematica determina instantáneamente que (por ejemplo) tu famoso 101010011000011011011111 es primo, y no me extrañaría que cualquier otro lenguaje tardase el mismo tiempo.

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    1. En fin, perdona por llamarte «Ferrer» y por el link que puse después de haber leído en diagonal tu post, mi único problema es que pretender ponerle tu nombre a algo que has definido y del que no has hecho nada más es bastante prepotente. Jugar con las mates está bien aparte de eso, y mírate formas más rápidas de tests deterministas de primalidad, porque son muy interesantes 🙂

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    2. Hola, David. Muchas gracias por tomarte las molestias de hacerme llegar ese enlace. Te respondo detalladamente.
      1. Es Ferres, no Ferrer.
      2. No has debido entender bien en qué consisten los superprimos de Ferres. En el artículo que me has enviado hablan de números primos cuya representación binaria es, leída en decimal, también un número primo (como el número 3, cuyo binario es 11, o el número 5, cuyo binario es 101. Sin embargo, un superprimo de Ferres tiene que ser un número, n, formado por 0’s y 1’s que sea:
      a) Primo.
      b) Representación binaria de un número primo, p, (hasta aquí cuadra bastante con lo que dice el artículo, solo que no se hace el énfasis en p sino en n).
      c) Si se pasa a binario n, entonces también es primo, leído como decimal.
      La condición c no se menciona en ningún momento en ese artículo. De hecho, el 11 no es un superprimo de Ferres, pues aunque provenga del 3, al pasar 11 a binario es 1011, que no es primo porque es divisible entre 3.
      3. Pese a que siga teniendo validez el descubrimiento de estos números primos por mí, el nombre que les he dado es una invitación a que alguien como tú pueda encontrar aquella referencia a este tipo de números que yo no he sido capaz de encontrar. No presupongas, por favor, que no he realizado una búsqueda exhaustiva en varios idiomas, llevo más de 7 años dedicado al estudio de las matemáticas.
      4. En cuanto a que Mathematica (online, supongo) encuentre que 101010011000011011011111 es un número primo, puede deberse a las siguientes posibilidades:
      a) Para números con una cantidad de cifras superior a cierta cantidad que hayan prefijado utiliza un algoritmo probabilístico como menciono en el artículo (en Python a mí eso me lleva menos de 1 segundo de tiempo de ejecución).
      b) Utiliza un algoritmo determinista pero se ejecuta en una supercomputadora. A pesar de ello, siempre hay un límite de cifras que cualquier algoritmo, determinista o no, puede manejar.
      Otra página en la que he cotejado todos estos números es https://www.numberempire.com/primenumbers.php , esta página puede determinar si un número es primo o no para números de 128 cifras o menos. Me he puesto en contacto con ellos para ver cómo funciona el algoritmo que tienen implementado, pero aún no he recibido respuesta. Sin embargo, supongo que tienen fijado un número a partir del cual el algoritmo pasa a ser probabilístico debido a que para números bajos devuelve qué posición ocupa el primo dentro del conjunto de primos y para números “grandes” eso ya no sucede.

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      1. Bueno no creo que es para tanto. Además ahora la Ortodoxia esta de que si no pasa por la escuela, instituto y Universidad parece que no tienes derecho a encontrar nada importante. Abogo por la Heterodoxia de Fermat. En la Historia de la Humanidad ha habido grandes genios que no han salido a la luz por no ser hijos de papa ito y por tener maestros y profesores de cabezas cuadriculadas incapaces de pensar, discurrir y apreciar a los alumnos que destacaban y querían preguntar o razonar. Si hoy en día preguntamos en clase cuanto suman los 100 primeros números naturales….*** SALEN GAUSS A PATADAS ***

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    3. Bueno no creo que es para tanto. Además ahora la Ortodoxia esta de que si no pasa por la escuela, instituto y Universidad parece que no tienes derecho a encontrar nada importante. Abogo por la Heterodoxia de Fermat. En la Historia de la Humanidad ha habido grandes genios que no han salido a la luz por no ser hijos de papa ito y por tener maestros y profesores de cabezas cuadriculadas incapaces de pensar, discurrir y apreciar a los alumnos que destacaban y querían preguntar o razonar. Si hoy en día preguntamos en clase cuanto suman los 100 primeros números naturales….*** SALEN GAUSS A PATADAS ***

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