Jugando con la trigonometría

Bienvenidos a mi Escritorio. En este artículo, que podéis descargaros en pdf pinchando en este enlace post20, vamos a explorar una de mis ramas favoritas de la Geometría (y de las Matemáticas), la trigonometría, tan conocida como temida por los estudiantes de Secundaria. Veremos que no muerde y nos dedicaremos a diseccionar sus principios más básicos. ¿Estáis preparados?

Breve reseña histórica

La trigonometría está íntimamente ligada a los triángulos, tanto es así que su nombre, que proviene del griego, significa ‘medida del triángulo’. A pesar de que su obra se perdiera, tenemos constancia de que el primer matemático en estudiar la trigonometría fue Hiparco de Nicea en el siglo II a.C., ya que Zeón de Alejandría (siglo IV d.C.) mencionó un tratado de Hiparco titulado «Doce libros sobre las cuerdas del círculo». Y es que, si bien ahora utilizamos los famosos seno, coseno y tangente, Hiparco trabajaba con otra función llamada cuerda, un concepto que es equivalente al seno. A Hiparco le debemos la división de la circunferencia en 360º, así como representar los decimales de un ángulo en minutos y segundos, tal y como seguimos haciendo hoy en día. Trabajar con senos y cosenos se lo debemos a los árabes de la Edad Media. Este pueblo se interesó muchísimo por la trigonometría, la astronomía y el álgebra, rama que nació en esta cultura. Hacemos una mención especial a Abu al-Wafá, que introdujo el concepto de tangente de un ángulo.

Seno, coseno y tangente

¿Pero qué es eso de seno, coseno y tangente? Teniendo la idea intuitiva de lo que es un ángulo, hay muchas formas de definir seno y coseno. Aquí van algunas de ellas (aunque no las entendais):

El seno, $x(t)$ , y el coseno, $y(t)$ , son las soluciones del problema de valor inicial:

$\left\{ \begin{array}{rcl} \dfrac{dx}{dt}(t) = & y(t) \\ \dfrac{dy}{dt}(t) = & -x(t) \\ x(0) = & 0 \\ y(0) = & 1 \end{array} \right.$

$\sin x = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
$\cos x = 1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \dfrac{x^{2n}}{(2n)!}$

Podríamos dar muchas más definiciones, sin embargo, lo más habitual es definirlos en el contexto de la Geometría elemental, y eso es lo que vamos a hacer. De ahora en adelante, los ángulos serán medidos en grados sexagesimales, salvo que se especifique lo contrario. Así, por ejemplo, escribiré 90 en lugar de 90º.

Comencemos dando la definición para un ángulo $0 < \alpha < 90$ . Consideremos un triángulo rectángulo, es decir, un triángulo con un ángulo recto (90), con uno de sus ángulos que mida $\alpha$ . Este triángulo tiene catetos $a,\, b$ e hipotenusa $c$ como se muestra en la figura 1.

Se sabe que los ángulos de un triángulo en el plano siempre suman 180, por lo que si tenemos un ángulo recto en nuestro triángulo rectángulo, los otros dos ángulos suman 90. Esto quiere decir que sí podemos realizar la definición sobre un triángulo rectángulo.

Definimos el seno de $\alpha$ como $\sin \alpha = \dfrac{b}{c}$ y el coseno como $\cos \alpha = \dfrac{a}{c}$ . También hemos hablado de la tangente anteriormente, así que demos la definición, aunque no le haremos tanto caso como al seno y al coseno. Se define la tangente de $\alpha$ como $\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \dfrac{\frac{b}{c}}{\frac{a}{c}}=\dfrac{b}{a}.$ Para $\alpha$ , decimos que $b$ es el cateto opuesto y $a$ es el cateto contiguo o adyacente.

Comentarios sobre la definición

Lo primero que hay que señalar es que, al ser $a,\, b,\, c$ las medidas de los lados de un triángulo, son positivas, luego $\sin \alpha,\, \cos \alpha >0.$ Además, los catetos de un triángulo rectángulo son menores que la hipotenusa, luego $\sin \alpha,\, \cos \alpha < 1.$ Esto es, el seno y el coseno de ángulos entre 0 y 90 están acotados entre 0 y 1.

¿Pero el seno y el coseno están bien definidos? Es decir, ¿no dependen del tamaño de los lados del triángulo? En efecto, si consideramos dos triángulos rectángulos de diferente tamaño cuyo uno de sus ángulos mida $\alpha$ , el seno y el coseno de $\alpha$ calculados con la definición en cada uno de ellos vale lo mismo. Veámoslo.

Consideremos el triángulo rectángulo anterior y otro nuevo de lados $a',\, b',\, c'$ como se aprecia en la figura 2 (los he superpuesto para que se vea que comparten el mismo ángulo $\alpha$ ).

Por una parte, $\sin \alpha = \dfrac{b}{c},$ pero por otra, $\sin \alpha = \dfrac{b'}{c'}$ . ¿Son iguales?

Analicemos a fondo la cuestión. Los dos triángulos tienen un mismo ángulo $\alpha$ y, al ser rectángulos, tienen otro ángulo de 90, lo que implica que el tercer ángulo, al ser la suma de los tres igual a 180, mide también lo mismo. Esto significa que los dos ángulos son semejantes. Y si recordamos que dos triángulos semejantes satisfacen las hipótesis del Teorema de Tales, podemos concluir que el cateto $b$ es a la hipotenusa $c$ lo que el cateto $b'$ es a la hipotenusa $c'$ . Dicho con fórmulas, $\dfrac{b}{c} = \dfrac{b'}{c'}.$ De este modo, hemos demostrado que el seno de $\alpha$ es independiente del tamaño del triángulo (lo mismo sucede con el coseno).

A modo de ejemplo, calculemos seno, coseno y tangente de $\alpha$ en el triángulo rectángulo de la Figura 1 en el que $a = 3,\, b=4,\, c = 5$ . $\sin \alpha = \dfrac{4}{5},\, \cos \alpha = \dfrac{3}{5},\, \tan \alpha = \dfrac{4}{3}.$

Extensión de la definición a 0 y 90

Hasta ahora hemos visto la definición para $0 < \alpha < 90$ , pero nuestro objetivo es definir seno y coseno para cualquier valor de $\alpha$ . Para ello construyamos lo que se llama la circunferencia goniométrica, en otras palabras, una circunferencia sobre la que medir ángulos. Esta circunferencia está centrada en el origen de los ejes de coordenadas y tiene radio 1. Sobre ella construimos un triángulo rectángulo como el que se aprecia en la figura 3.

El plano se ha dividido en cuatro regiones llamadas cuadrantes y han sido numerados. El cuadrante I se corresponde con los ángulos entre 0 y 90, el cuadrante II con los ángulos entre 90 y 180, el cuadrante III con los ángulos entre 180 y 270 y, el cuadrante IV, con los ángulos entre 270 y 360.

De momento, solo tenemos nuestras definiciones para ángulos del cuadrante I distintos de 0 y de 90. Sobre estos, en la circunferencia goniométrica, hagamos algunas observaciones:

La hipotenusa del triángulo rectángulo mide 1, ya que es el radio de la circunferencia.
Como la hipotenusa es 1, $\sin \alpha = \dfrac{\text{cateto opuesto}}{1} = \text{cateto opuesto},$ así que la altura del triángulo (el cateto opuesto) mide $\sin \alpha$ . Del mismo modo, la base del triángulo (el cateto contiguo) mide $\cos \alpha$ . Esto se recoge en la figura 4.

Teniendo en mente que la base es el coseno y la altura es el seno, vamos, por fin, a extender la definición del seno, el coseno y la tangente a los ángulos 0 y 90. Como se puede apreciar en el siguiente gif, figura 5, como el coseno es la base y el seno es la altura, cuando el ángulo $\alpha$ se aproxima a 0, la altura tiende a 0 y la base tiende al radio, 1, y cuando el ángulo $\alpha$ se aproxima a 90, la altura tiende al radio, 1, y la base tiende a 0.

Por eso, $\sin 0 = 0,\, \cos 0 = 1,\, \tan 0 = \dfrac{\sin 0}{\cos 0} = \dfrac{0}{1} = 0.$ Por otra parte, $\sin 90 = 1,\, \cos 90 = 0,\, \tan 90 = \dfrac{\sin 90}{\cos 90} = \dfrac{1}{0}$ y, al no poder dividir entre 0, la tangente de 90 no existe.

Extensión de la definición a ángulos del cuadrante II

Teniendo ya definidos el seno y el coseno para $0 \leq \alpha \leq 90$ , vamos a extender la definición para $90 < \alpha \leq 180$ . Si directamente planteáramos un triángulo rectángulo con este ángulo $\alpha$ , este triángulo no existiría, ya que la suma de sus ángulos sería mayor que 180. De este modo, tenemos que proceder de otra manera. Una forma sencilla de hacerlo es utilizando la circunferencia goniométrica como se muestra en la figura 6.

En vez de tomar $90 < \alpha \leq 180$ , tomamos $0 \leq \alpha < 90$ en el cuadrante I, construimos el triángulo rectángulo y su simétrico en el cuadrante II con respecto del eje vertical. Entonces, el ángulo $180 - \alpha$ es el ángulo entre 90 y 180 del que queremos saber su seno y coseno. Estos van a ser la base y la altura del triángulo construido en el cuadrante II, con la particularidad de que ahora la base (el coseno), como yace sobre la rama negativa del eje horizontal, va a ser un número negativo, es decir, entre -1 y 0.

Como todo ángulo del cuadrante II es de la forma $180 - \alpha$ , con $0 \leq \alpha < 90$ , podemos concluir que $\sin (180-\alpha) = \sin \alpha,\, \cos (180- \alpha) = - \cos \alpha,\, \tan (180 - \alpha) = -\tan \alpha.$

Así, por ejemplo, como 120 = 180 – 60, $\sin 120 = \sin 60,\, \cos 120 = - \cos 60,\, \tan 120 = -\tan 60.$

Extensión de la definición a los ángulos de los cuadrantes III y IV

Para finalizar con la definición de estos conceptos, se hace algo muy parecido con los ángulos de los cuadrantes III y IV, teniendo en cuenta que las alturas de los triángulos de estos cuadrantes se encuentran en la rama negativa del eje vertical y que, por tanto, el seno de estos ángulos será negativo. Mostramos esto en las figuras 7 y 8.

Extensión de la definición a cualquier ángulo

Ya tenemos definición para ángulos $0 \leq \alpha < 360$ . Ahora, como 360 es lo mismo que dar una vuelta completa desde el ángulo 0, seno, coseno y tangente de 360 coincidirán con seno, coseno y tangente de 0. Y si tenemos un ángulo $360 \leq \alpha < 2\cdot 360 = 720$ , será como haber dado una vuelta completa (360) y haber recorrido un ángulo menor que 360, por lo que $\sin \alpha = \sin (\alpha - 360)$ (análogamente con coseno y tangente). Y si ha dado dos vueltas y un poquito más, restamos dos veces 360 y listo. Y si ha dado, en general, $n$ vueltas, restamos $n$ veces 360. Por otra parte, si tenemos un ángulo negativo, lo que quiere decir es que en vez de tomar el ángulo en sentido contrario a las agujas del reloj (sentido antihorario), lo estamos tomando en el sentido de las agujas del reloj (sentido horario), por lo que en vez de restar 360 habrá que sumar 360. Por ejemplo, $\sin (-740) = \sin (-740+360) = \sin (-380 + 360) = \sin (-20)=\sin (-20 + 360)=\sin 340,$ y este seno, al estar el ángulo en el cuadrante IV, será $\sin 340 = - \sin (360-340)=\sin 20.$

Me resulta muy bonito saber que para calcular las razones trigonométricas de cualquier ángulo me baste solo con saber las de los ángulos del cuadrante I, es decir los ángulos $0 \leq \alpha \leq 90$ .

Por cierto, dicho sea de paso, ya sabemos que $-1 \leq \sin \alpha,\, \cos \alpha \leq 1,$ para cualquier ángulo $\alpha$ .

Algunas razones trigonométricas importantes

Hasta ahora hemos hablado mucho de trigonometría pero no hemos calculado razones trigonométricas de ningún ángulo concreto excepto de 0 y de 90. En esta sección veremos seno, coseno y tangente de algunos de los ángulos más importantes: 30, 45 y 60.

Comencemos con 45. Si construimos un triángulo rectángulo cuyo uno de sus ángulos sea 45, al tener un ángulo de 90, el tercer ángulo, necesariamente, también tiene que medir 45. Veamos la figura 9.

Por simplicidad de cálculos, lo construimos en la circunferencia goniométrica para que la hipotenusa mida 1 (recordad que cualquier otro tamaño se correspondería con un triángulo rectángulo semejante a este y seno, coseno y tangente no variarían). Evidentemente, este es un triángulo isósceles, ya que tiene dos ángulos iguales, luego sus catetos también son iguales. Esto quiere decir, como vemos en la figura 10, que $\sin 45 = \cos 45$ (y de paso podemos decir que $\tan 45 = 1$ ).

Ahora bien, por el Teorema de Pitágoras, que recordemos que dice que en un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es la suma de los cuadrados de los catetos, $1^2 = 1 = \sin^2 45 + \sin^2 45 = 2 \sin^2 45,$ luego $\sin^2 45 =\dfrac{1}{2}$ y, finalmente, $\sin 45 = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ . Además, como $\sin 45 = \cos 45$ , se tiene que $\cos 45 = \dfrac{\sqrt{2}}{2}.$

Antes de disfrutar de nuestro hallazgo, veamos, de golpe, cuáles son las razones trigonométricas de 30 y 60. Para ello, hagamos algo un poco diferente. Construyamos un triángulo equilatero de lado 1 (de nuevo, da igual el tamaño de los lados), es decir, un triángulo en el que los tres lados y, por consiguiente, los tres ángulos, miden lo mismo. En un triángulo equilátero, todos los ángulos miden lo mismo, 60, porque es el único valor tal que sumado 3 veces (o multiplicado por 3) da como resultado 180. Se muestra en la figura 11.

Sobre este triángulo tracemos su altura, que dividirá por la mitad al triángulo, haciendo que el ángulo que aparece más arriba en el dibujo se convierta en dos ángulos que miden 30 y haciendo que la base se divida en dos lados de medida $\dfrac{1}{2}$ . Fijémonos en uno de los dos triángulos que se han formado al trazar la altura. Por ejemplo, el de la izquierda. Como la hipotenusa mide 1 y la base mide $\dfrac{1}{2}$ , por el Teorema de Pitágoras, la altura medirá $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ . Haciendo uso de la trigonometría, observamos las relaciones entre los senos y cosenos de 30 y 60 con la base y la altura en la figura 12.

De aquí podemos concluir fácilmente la tangente de 30 y de 60.

Fórmulas trigonométricas

En trigonometría hay algunas fórmulas preciosas. Una de ellas es la siguiente: para cualquier ángulo $\alpha,\; \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ . Para demostrarlo, basta con reducirnos al caso en que $0 \leq \alpha \leq 90,$ por lo mencionado anteriormente y porque al elevar al cuadrado, siempre obtendremos números positivos. Los casos 0 y 90 son triviales, ya que en el primero, el seno es 0 y el coseno es 1 y, en el segundo, al revés. Así que supongamos $0 < \alpha < 90$ . Construyamos un triángulo rectángulo cuyo uno de sus águlos sea $\alpha$ y cuya hipotenusa mida 1. Entonces, por el Teorema de Pitágoras, como la base mide $\cos \alpha$ y la altura mide $\sin \alpha$ , se tiene que $1^2 = 1 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha,$ quedando demostrado el resultado.

Luego, si el Teorema de Pitágoras se cumple, esta fórmula también. Lo bonito, para mi gusto, es que, si esta fórmula es cierta, entonces se puede deducir el Teorema de Pitágoras. Construimos un triángulo rectángulo cuyos catetos midan $a,\, b$ y la hipotenusa mida $c$ . Denotemos por $\alpha$ a uno de los ángulos que no miden 90 (podemos volver a la figura 1 para verlo). Como $\sin \alpha = \dfrac{b}{c},\, \cos \alpha = \dfrac{a}{c}$ y se cumple que $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ , entonces, reescribiendo el seno y el coseno utilizando sus valores, tenemos que $\dfrac{b^2}{c^2} + \dfrac{a^2}{c^2} = 1$ Si sumamos y multiplicamos por $c^2$ en ambos lados de la igualdad conseguimos $a^2 + b^2 = c^2$ , quedando así demostrado el Teorema de Pitágoras.

Es decir, la fórmula $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ y el Teorema de Pitágoras son resultados equivalentes, lo mismo da hablar de ángulos que de lados. Bonito, ¿no?

Otras fórmulas interesantes son las siguientes:

$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta.$
$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta.$
$\sin(2 \alpha) = 2\sin \alpha \cos \alpha.$
$\cos (2\alpha) = 2 \cos^2 \alpha - 1.$

Hay muchas más, pero no es mi propósito en este artículo hacer un recopilatorio de todas las fórmulas de trigonometría. Demostremos, por ejemplo, la 1 y la 3 y el resto quedan como ejercicio para el lector.

Comenzamos con la demostración de la primera fórmula para la suma, que solo haremos para el caso en que $0 < \alpha + \beta < 90$ . En este caso no es cierto (o, al menos, no tan trivial) que solo nos baste reducirnos a este caso, pero a modo de ejemplo ilustrativo será suficiente. He de decir que esta demostración no es la más elegante, por internet encontraréis algunas mucho más bonitas, pero esta es la que se me ha ocurrido a mí y, al final, la mejor demostración es la que uno entiende.

Construyamos un triángulo rectángulo cuyo uno de sus ángulos mida $\alpha + \beta$ , como en la figura 13, y etiquetemos sus vértices como A,B y C.

Tracemos ahora una línea que divida el ángulo $\alpha + \beta$ en dos ángulos, $\alpha$ y $\beta$ . Ahora, prolonguemos el lado AB desde B y tracemos, desde C, otra línea hacia esta línea prolongada de forma que la línea que divide el ángulo $\alpha + \beta$ la corte perpendicularmente. Es más fácil verlo en la figura 14.

Como los lados BC y AE se cortan en F, hay un resultado que dice que los ángulos opuestos por F valen lo mismo. Entonces, el triángulo CEF y el triángulo ABC son semejantes. Véase la figura 15.

Utilizando las definiciones de seno y coseno sobre los triángulos rectángulos indicados en cada momento, se hallan los siguientes valores para algunos lados interesantes de esta construcción. Véase la figura 16.

Ahora comencemos a aplicar estos resultados. $\sin (\alpha + \beta) = \dfrac{BC}{AC} = \dfrac{BF+CF}{AC}.$ Como $BF = AF \sin \alpha,$ se tiene que $\dfrac{BF+CF}{AC} = \dfrac{AF \sin \alpha}{AC} + \dfrac{CF}{AC}.$ Utilizando ahora que $AC = \dfrac{CF \cos \alpha}{\sin \beta},$ se tiene que $\dfrac{AF \sin \alpha}{AC} + \dfrac{CF}{AC} = \dfrac{AF \sin \alpha \sin \beta}{CF \cos \alpha} + \dfrac{CF \sin \beta}{CF \cos \alpha}.$ En la última expresión podríamos simplificar CF, pero nos interesa mantenerlo. Ahora hacemos uso, en el primer sumando, de que $AC \sin \beta = CF \cos \alpha$ y de que $AF = AE - CF \sin \alpha$ . Este primer sumando queda $\dfrac{(AE-CF \sin \alpha) \sin \alpha \sin \beta}{AC \sin \beta} = \dfrac{AE \sin \alpha \sin \beta}{AC \sin \beta}-\dfrac{CF \sin^2 \alpha \sin \beta}{AC \sin \beta}.$ En el primer término simplificamos $\sin \beta$ y utilizamos el hecho de que $\cos \beta = \dfrac{AE}{AC}$ para concluir que es igual a $\sin \alpha \cos \beta$ . En el segundo término rehacemos el cambio $AC \sin \beta = CF \cos \alpha$ y nos queda $- \dfrac{CF\sin^2 \alpha \sin \beta}{CF \cos \alpha}.$ Así, volviendo a $\dfrac{AF \sin \alpha \sin \beta}{CF \cos \alpha} + \dfrac{CF \sin \beta}{CF \cos \alpha},$ esto es igual a $\sin \alpha \cos \beta + \dfrac{CF \sin \beta - CF \sin^2 \alpha \sin \beta}{CF\cos \alpha}.$ Ahora sí, sacando factor común $CF \sin \beta$ y simplificando $CF$ en el numerador y en el denominador, nos queda la expresión, en el segundo término, de $\dfrac{\sin \beta (1 - \sin^2 \alpha)}{\cos \alpha}.$ Haciendo uso de que $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ y despejando $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha,$ obtenemos que la expresión resultante es $\dfrac{ \sin \beta (1 - \sin^2 \alpha)}{ \cos \alpha} = \dfrac{ \cos^2 \alpha \sin \beta}{ \cos \alpha} = \cos \alpha \sin \beta.$ De esta forma, recopilando todo, tenemos que $\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta,$ como queríamos demostrar.

La tercera fórmula, $\sin (2\alpha) = 2\sin \alpha \cos \alpha,$ es una consecuencia inmediata de la que acabamos de demostrar, ya que si ponemos $\beta = \alpha$ , tenemos que $\alpha + \beta = \alpha + \alpha = 2 \alpha.$

Otra magnitud con la que medir ángulos

Si bien es cierto que el común de los mortales utiliza los grados sexagesimales para medir ángulos, en Ciencia se suele utilizar otra magnitud: el radián. Veamos cómo se define el radián.

Supongamos una circunferencia de radio 1. La longitud de esta circunferencia es $2\pi$ (sería multiplicado por el radio, pero vale 1). Dar 1 vuelta a la circunferencia supone recorrer 360º, pero también $2 \pi$ unidades de longitud. ¿Cuántos ángulos deberíamos recorrer para haber recorrido 1 unidad de longitud sobre la circunferencia? Pues multipliquemos por $\dfrac{1}{2\pi}$ para averiguarlo. Nos queda $\dfrac{360}{2 \pi} = \dfrac{180}{\pi}$ . A la unidad de longitud recorrida sobre la circunferencia la llamamos radián. Así que $360 = 2\pi \text{rad},$ y $1 \text{rad} = \dfrac{180}{\pi}.$ Véase la figura 17.

De este modo, $\pi \text{rad} = 180,\, \dfrac{\pi}{2} \text{rad} = 90,$ etc.

Conclusiones

La trigonometría ha jugado siempre un papel esencial. Desde la Grecia Clásica en la Geometría, pasando por el uso de la misma en la navegación y la astronomía, hasta los tiempos actuales en… bueno, en ABSOLUTAMENTE TODO. No me creeríais si os digo que, probablemente, el seno y el coseno sean las funciones más importantes de las Matemáticas, tanto dentro de las mismas como en la Física, la Ingeniería o la Música.

Nos hemos quedado con muchas cosas en el tintero, así que espero retomar este tema en otro artículo y profundizar un poco más en esta maravillosa área. Espero que os haya gustado y ya sabéis, comentad y compartid con familiares, amigos y vecinos del barrio. ¡Hasta la próxima!

Autor: Enrique Ferres

Soy matemático por la Universidad Complutense de Madrid especializado en Ciencias de la Computación, PDI en U-tad y estudiante PhD en Didáctica de las Matemáticas en la UCM. Miembro de Scenio. También divulgo en Twitter: @enrique_ferres Lee todas las entradas de Enrique Ferres

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